Александр Козаев родился 9 октября 1919 года в селе имени Коста Хетагурова Ставропольского края, ныне Карачаевского района, Ставропольского края в семье крестьянина. Осетин. Окончил 7 классов, кооперативную школу, Сухумский субтропический техникум. В Советской Армии с 1937 года. Окончил Орджоникидзенское пехотное училище в 1939 году. В боях Великой Отечественной войны с сентября 1941 года. Звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" Александру Борисовичу Козаеву присвоено 29 июня 1945 за умелое руководство боевыми действиями полка и проявленную храбрость при разгроме Земландской группировки противника.

13 апреля 1945 года стрелковый полк под командованием майора Козаева, ведя наступательные бои против фашистской группировки на Земландском полуострове, подошел к сильно укрепленному рубежу обороны противника. Все попытки прорвать оборону с фронта не увенчались успехом. Наступление дивизии было приостановлено. Тогда майор Козаев дерзким и неожиданным маневром небольшими силами блокировал основной опорный пункт врага, а главными силами прорвал оборону с флангов и обеспечил успешное наступление всей дивизии.

За время наступательных боев с 13 по 17 апреля 1945 года полк майора Козаева истребил более 400 и взял в плен 600 гитлеровских солдат и офицеров, захватил 20 орудий и освободил 1500 узников, томившихся в концлагерях. После войны продолжал службу в армии. В 1948 окончил Военную академию имени М.В. Фрунзе, работал там же старшим преподавателем. С 1953 служил в ракетных войсках. С 1960 полковник Козаев в запасе. Жил в Москве. Скончался 18 мая 1994 года.

Награжден орденом Ленина, 2 орденами Красного Знамени, орденом Отечественной войны 1 и 2 степени, 3 орденами Красной Звезды, медалями.