Абдрауф Давлетов родился 27 марта 1916 года в селе Халилово Абзелиловского района Башкирской АССР в рабочей семье. Окончил семь классов школы. В 1937—1938 годах работал начальником пожарной охраны, шахтёром, затем в 1938—1940 годах проходил службу в Рабоче-крестьянской Красной Армии. Участвовал в Польском походе РККА. Демобилизовавшись, работал инструктором всевобуча, затем инструктором Абзелиловского районного военного комиссариата Башкирской АССР. В октябре 1942 года Давлетов был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. Окончил филиал курсов «Выстрел» в Уфе. С марта 1943 года — на фронтах Великой Отечественной войны. К сентябрю 1943 года гвардии лейтенант Абдрауф Давлетов командовал пулемётным взводом 58-го гвардейского кавалерийского полка 16-й гвардейской кавалерийской дивизии 7-го гвардейского кавалерийского корпуса 61-й армии Центрального фронта. Отличился во время битвы за Днепр.

В ночь с 26 на 27 сентября 1943 года Давлетов одним из первых переправился через Днепр в районе деревни Нивки Брагинского района Гомельской области Белорусской ССР. Во время высадки на берег, когда выбыл из строя пулемётный расчёт и Давлетов остался один, он открыл огонь по солдатам противника, заставив тех укрыться в траншее. Когда прибыла следующая лодка с бойцами, Давлетов с ними ворвался в траншею противника и лично уничтожил 6 солдат противника, а также взял ещё одного в плен.

27 октября 1943 года Давлетов погиб в бою. Похоронен в братской могиле в деревне Асаревичи Гомельской области Белоруссии.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 января 1944 года за «образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецкими захватчиками» гвардии лейтенант Абдрауф Давлетов посмертно был удостоен высокого звания Героя Советского Союза. Также был награждён орденами Ленина и Красного Знамени.

В честь Давлетова названа школа в селе Халилово Абзелиловского района.