Родился в с. Болхуны Ахтубинского района, активный участник в борьбе за установление советской власти. Алексей в 1919 г. вступил в комсомол, когда в январе этого года в селе Золотуха Енотаевского уезда организовал первую комсомольскую ячейку. Являлся участником отряда по борьбе с бандитизмом, в задачу которого входили охрана села и проведение продразверстки.
Основатель Астраханского музея боевой славы. Интересен один случай, который показывает какой человек был Алексей Михайлович. В тот период на территории губернии действовала банда численностью около 3 тыс. человек, организованная известным харабалинским садовладельцем Поповым. Члены кго формарования сожгли железнодорожные станции Верблюжью, Чапчачи, Харабали. Бандиты расправлялись со всеми, кто хотя бы сочувствовал советской власти. На собрании партийной ячейки приняли решение отправить для переговоров с бандитами коммуниста Трофима Шомина и комсомольца Алексея Добросердова - предложением прекратить выступления против новой власти. Переговорщики выехали вдвоем на лошадях за 100 км в степь на условное место. Эта встреча принесла свои плоды: впоследствии часть бандитов покинула банду в полном вооружении и сдалась.
В Енатаевск он приехал и работал в период с 1923 по 1926 годы. В 1926 г. вступил в коммунистическую партию, решением партийной ячейки направлен на работу в Камлмыкию, в Богацехуправский улуском ВЛКСМ. С 1932 по 1938 гг. он являлся 1-м секретарем Элистинского горкома ВКП(б). С 1938 г.  был на военной оборонно-массовой работе. В сентябре 1942 г. решением Калмыцкого обкома ВКП (б) рекомендован руководителем диверсонно-разведывательной школы.
18 сентября 1942 года в г. Астрахани была открыта спецшкола №005 по подготовке кадров для партизанских отрядов и диверсионных групп. Ее возглавил старший политрук А.М. Добросердов, много лет проработавший до войны в Калмыкии, знавший эти места.
После войны Алексей Михайлович работал в советских и партийных органах, налаживал мирную жизнь в родном крае. Именно он являлся инициатором и идейным вдохновителем создания музейной экспозиции зала боевой славы в нашем городе. На протяжении многих лет он собирал подлинные документы, награды, личные вещи астраханцев - участников Великой Отечественной войны.