Родился Иван Александрович 13 (26) ноября 1907 года в деревне Шелаево Медынского района Смоленской области (ныне - Калужской области)

В Красной Армии с 1929 года. В 1932 году окончил Луганскую школу военных пилотов. После окончания был направлен лётчиком-инструктором в школу лётчиков-наблюдателей в Харькове. В 1935 году Корнеев обучался на курсах при Ейском военном авиационном училище. Параллельно в том же году заочно окончил среднюю школу. В дальнейшем старший лейтенант Корнеев был направлен командиром звена на Дальний Восток. В 1937 году назначен командиром эскадрильи. Участвовал в боях у озера Хасан в 1938 году.
В августе 1943 года направлен на фронт командиром эскадрильи 277-го бомбардировочного авиационного полка 219-й бомбардировочной авиационной дивизии 4-й воздушной армии Северо-Кавказского фронта.

Участвовал в Новороссийско-Таманской и Керченско-Эльтигенской операциях.

С ноября 1943 года в составе Отдельной Приморской армии (в апреле 1944 года – в составе 4-го Украинского фронта) участвовал в боях за Крым. После освобождения Крыма – в боях на 2-м Белорусском фронте.

Участвовал в Белорусской, Восточно-Прусской и Восточно-Померанской операциях.

Летая ведущим группы, Корнеев на самолётах «Бостон» и По-2 совершил 57 боевых вылетов на уничтожение живой силы и боевой техники противника.

В марте 1945 года как лучшего командира эскадрильи майора Корнеева назначают заместителем командира 63-го ночного бомбардировочного авиационного полка 132-й бомбардировочной авиационной дивизии 4-й воздушной армии.

За короткое время он подготовил две эскадрильи из молодых лётчиков, лично вылетал на бомбардировку войск и объектов в районе Франкфурта (Германия) и Штеттина (ныне – Щецин, Польша).
25 апреля 1945 года майор Корнеев во главе группы из девяти самолётов «Бостон» вылетел на выполнение боевого задания в районе города Пренцлау (Германия). При подлёте к цели группа была встречена огнём шести батарей зенитной артиллерии противника. Один из снарядов разорвался в непосредственной близости от самолёта Корнеева. Самолёт был сильно повреждён, а сам лётчик получил тяжёлые ранения. У него была перебита левая рука, несколько осколков пробили грудную клетку и застряли в лёгких. Превозмогая боль, Корнеев повёл группу на цель и метким бомбометанием уничтожил вражескую зенитную батарею. После бомбометания он собрал группу в боевой порядок и передал командование заместителю. От сильной потери крови майор Корнеев начал терять сознание, но довёл самолёт до линии фронта и, понимая, что управлять машиной больше не может, приказал экипажу выброситься на парашютах, сам остался в самолёте.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 18 августа 1945 года за мужество, отвагу и героизм, проявленные в борьбе с немецко-фашистскими захватчиками, майору Корнееву Ивану Александровичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
Награждён орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, орденом Красной Звезды.
Похоронен в парке населённого пункта Лобжениц (в 38 километрах от города Накло, Польша).

Имя Героя носит совхоз в Медынском районе – деревня Корнеевка, его фамилия помещена на мемориальной доске, установленной на здании кинотеатра «Дружба» в городе Медынь.