В Красной армии с 1938 года. Окончил Ульяновскую школу ОСОАВИАХИМ.

В действующей армии в период Великой Отечественной войны с октября 1942 года.

19 декабря 1942 года Алексеев ведущим 4 самолётов Ил-2 в районе Боковская — Пономарёвка совершил смелый налёт на сильно укреплённый рубеж противника и большое скопление его танков. Несмотря на сплошной заградительный зенитный огонь противника и сложные метеоусловия, группа успешно наносила удары по вражеским частям, мешающим продвижению наших войск. В результате этих атак было уничтожено: 12 танков, 17 автомашин с грузом и живой силой, до 10 повозок с боеприпасами, 2 цистерны с горючим, до 2 взводов пехоты, подавлен огонь 2 зенитных батарей.

Вражеский снаряд перебил рули управления в самолёте Алексеева, вследствие чего управлять машиной стало практически невозможно. Неимоверными усилиями Алексеев не только продолжал полёт, но на протяжении всего маршрута управлял ведомыми по радио. Стремление довести свой и подчинённые ему самолеты до советской территории занимало все его мысли. И когда Алексеев сделал это, рули окончательно отказали и он погиб. По другим данным Алексеев был тяжело ранен, но сумел посадить машину на своей территории. Скончался в кабине самолёта.

За свои 20 боевых вылетов на штурмовку врага в качестве ведущего Б. П. Алексеев всегда личным примером и храбростью увлекал своих подчинённых. Лично им было уничтожено: 16 танков, 32 автомашины, 23 повозки с грузом, 7 взводов, до 15 всадников, 4 склада с боеприпасами и до роты пехоты противника.