Родился 5 мая 1920 года в селе Петропавловка, ныне Володарского района Кокчетавской области (Республика Казахстан), в семье крестьянина. Украинец.

В 1930 году с родителями переехал в Бурятию, в город Улан-Удэ. В 1939 году окончил железнодорожную среднюю школу № 65 и поступил в Иркутский политехнический институт. Однако учиться там не пришлось.

В 1939 году был призван в Красную армию и направлен на Дальний Восток. В 1940 году окончил Объединённую школу младших авиаспециалистов ВВС Тихоокеанского флота, получил специальность воздушного стрелка. Служил воздушным стрелком-радистом в 4-м минно-торпедном авиационном полку ВВС Тихоокеанского флота. Член ВКП(б) с 1944 года.

В боях Великой Отечественной войны с января 1942 года — в качестве воздушного стрелка-радиста 5-го и 24-го (с мая 1943 — 9-го гвардейского) минно-торпедного авиаполка ВВС Северного флота. Летал в экипажах старшего лейтенанта Казакова, лейтенанта Агафонова, а впоследствии как один из лучших стрелков-радистов — с командиром полка подполковником Сыромятниковым.

Принимал участие в 81 боевом вылете, в 23 торпедных атаках, в потоплении 4 транспортов, 2 сторожевых кораблей, каботажного судна, 7 мотоботов противника, лично сбил вражеский истребитель. Особо отличился в ходе Петсамо-Киркенесской наступательной операции советских войск.

16 октября 1944 года на подходе к каравану вражеских судов в районе мыса Хибергнесет (Норвегия) самолёт-торпедоносец был подбит. Экипаж горящего самолёта в составе командира 9-го гвардейского минно-торпедного авиаполка гвардии подполковника Б. П. Сыромятникова, штурмана полка майора А. И. Скнарёва и стрелка-радиста старшего сержанта Г. С. Асеева сбросил торпеду и потопил транспорт врага, но сам погиб, до конца выполнив свой воинский долг.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 5 ноября 1944 года за мужество и героизм, проявленные в боях с немецко-фашистскими захватчиками, гвардии старшему сержанту Асееву Григорию Сафроновичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза Я очень горжусь своим дедом! Моего брата назвали в честь деда, Григорием, он и старший брат очень похожи на него!