Амаяк Григорьевич Бабаян родился в 1901 году в селении Зырчи Кагызманского округа Карсской области Российской империи (ныне Турция), в многодетной семье рабочего. Во время геноцида армян его родители были убиты, а сам он с братом бежали в Армению. В мае 1918 года добровольцем вступил в армию Республики Армения, участвовал в судьбоносном Сардарапатском сражении.

С установлением советской власти в Армении в ноябре 1920 года вступил добровольно в Красную Армию. Служил красноармейцем и участвовал в боевых действиях Гражданской войны в Закавказье. В 1924 году с отличием окончил командные курсы. В тот же год вступил в ВКП(б). После учёбы служил старшиной роты, затем командовал взводом в составе 76-й Армянской горно-стрелковой дивизии. В 1928 году окончил Киевскую высшую объединённую школу командиров РККА имени С.С.Каменева, и после учёбы продолжил службу в той же дивизии. В июне 1938 года переведён в 100-ю стрелковую дивизию Белорусского военного округа, где занимал различные командные должности.

На фронте с первого дня Великой Отечественной войны. В Белостокско-Минском сражении дивизия в составе 13-й армии Западного фронта с боями отходила через Барановичи и Старые Дороги. Майор Бабаян вывел часть дивизии из окружения, после чего дивизия была восстановлена и вновь включена в 13-ю армию Центрального фронта, участвовала в Смоленском оборонительном сражении.

С сентября 1941 года командир полка охраны штаба Брянского фронта. В октябре с началом немецкого наступления на Москву, оказавшись в Брянском котле, с боем вывел полк из окружения, после чего был назначен командиром 654-го стрелкового полка 148-й стрелковой дивизии 13-й армии, которая вела оборонительные бои южнее Москвы. В декабре 1941 года особенно успешно действовал в Елецкой наступательной операции, но сам в ходе боёв был тяжело ранен.

После выздоровления в февраля 1942 год назначен командиром вновь сформированной в Московском военном округе 158-й курсантской стрелковой бригады, с которой прибыл на Северо-Западный фронт. С апреля 1942 года командовал 390-й Армянской стрелковой дивизией, но в ходе Керченской оборонительной операции во второй раз был тяжело ранен.

После выздоровления в октябре 1942 года назначен командиром 27-й отдельной лыжной бригады Сибирского военного округа. С апреля 1943 - командир 87-й отдельной стрелковой бригады, с 20 апреля — командир 76-й стрелковой дивизии, которая формировалась в Московском военном округе. В июле 1943 года прибыл с дивизией в 21-ю армию Западного фронта и вскоре уже участвовал в Смоленской наступательной операции, где его дивизия 30 августа 1943 года отличилась при освобождении города Ельня, за что ей было присвоено почётное наименование «Ельнинская», а сам полковник был в третий раз тяжело ранен.

После выздоровления в январе 1944 года направлен на учёбу в Высшую военную академию имени К.Е.Ворошилова, которую в конце марта он окончил по ускоренному курсу. 29 марта 1944 года назначен командиром 338-й стрелковой дивизии 5-й армии Западного фронта (с апреля 1944 года 3-й Белорусский фронт). Во главе дивизии отличился в Белорусской стратегической операции, ведя наступательные бои Витебско-Оршанской, Вильнюсской и Каунасской наступательных операций. Дивизия полковника Бабаяна трижды форсировала с боями реку Вилия и дважды Неман, прорвала несколько рубежей немецкой обороны, за что дивизии было присвоено почётное наименование «Неманская», а её командиру 15 июля 1944 года присвоено звание генерал-майора. В октябре 1944 года дивизия вновь наступала в ходе Мемельской операции и вышла на границу с Восточной Пруссией. Однако 25 октября 1944 года генерал Бабаян был отстранён от командования дивизией и направлен в распоряжение Военного совета 3-го Белорусского фронта.

19 февраля 1945 года назначен командиром 35-й механизированной бригады 1-го механизированного корпуса 2-й гвардейской танковой армии 1-го Белорусского фронта. В ходе Восточно-Померанской операции во главе бригады принимал участие в освобождении Польши.

В ходе Берлинской наступательной операции бригада под командованием генерала Амаяка Бабаяна успешно продвигалась от Одера к Берлину, обеспечивая правый фланг 1-го механизированного корпуса. 20 апреля 1945 года бригада взяла город Бернау, 21 апреля ворвалась в пригород Берлина Вайсензе. В период наступления 16-21 апреля бригадой было уничтожено 14 танков, 22 артиллерийских орудия, до 350 солдат и офицеров, захвачены 11 танков, 22 орудия, 49 автомашин, 42 пленных. В этот же день, 21 апреля 1945 года генерал Амаяк Бабаян погиб смертью храбрых в бою за район Лихтенберг у северо-западной окраины столицы фашистской Германии города Берлин, не дожив до окончания войны всего лишь пару недель.

Похоронен на городской площади ранее освобождённого им городка Зольдин, ныне город Мыслибуж Западно-Поморского воеводства, Польша. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 31 мая 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом доблесть и мужество гвардии генерал-майору Амаяку Григорьевичу Бабаяну посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.

Имя генерала Амаяка Григрьевича Бабаяна увековечено в названиях улиц многих городов в России, Армении и Польши, его имя носил нефтеналивной танкер Бакинского пароходства, его имя носили пионерские организации, во многих музеях имеются посвящённые его подвигу экспозиции, в том числе в зале победы музея Вооружённых сил в Москве, его подвиг освещён во многих книгах, а также в многочисленных интернет-изданиях.