Родился 9 марта 1921 года[3](в ряде источников ошибочно указан 1919 год) в селе Горяйстовка Ахтырского района Сумской области Украинской ССР. Родители: отец — Берест Прокофий Никифорович, рабочий, столяр, после 1917 года — крестьянин, умер в 1933 году; мать — Берест Ефросинья Вакумовна, домохозяйка, с 1931 года — колхозница, умерла в 1931 году. В семье было шестнадцать детей.
В 12 лет остался сиротой вместе с восемью братьями и сёстрами, одно время беспризорничал, содержался в детском доме. Окончил 7 классов, с апреля по август 1937 года работал трактористом на Чупаховской МТС Ахтырского района, с апреля 1938 по сентябрь 1939 года — снабженцем-экспедитором на заводе № 183 в Харькове.
В октябре 1939 года добровольцем пошёл в Красную Армию. Участвовал в советско-финской войне.
За годы Великой Отечественной войны прошёл путь от рядового до заместителя командира батальона по политической части 756-го стрелкового полка 150-й стрелковой дивизии. В марте 1942 года вступил в ВКП(б).
30 апреля 1945 года по приказу первого коменданта рейхстага, командира 756-го стрелкового полка, полковника Ф. М. Зинченко, лейтенант Алексей Прокофьевич Берест возглавил выполнение боевой задачи по водружению знамени Военного совета 3-й ударной армии на куполе здания Рейхстага. В ночь на 2 мая по заданию командования, переодевшись в форму советского полковника, Алексей Прокофьевич Берест лично вёл переговоры с остатками гарнизона рейхстага, принуждая их к капитуляции. За «исключительную отвагу и мужество, проявленную в боях», 3 августа 1946 года был представлен к награждению званием Героя Советского Союза, но 22 августа 1946 года был награждён орденом Красного Знамени.
После войны был парторгом отдельного артдивизиона, секретарём партбюро 31 отдельного батальона связи.
В январе 1946 года в Ростове Берест женился на Людмиле Фёдоровне Евсеевой, с которой познакомился в эвакогоспитале в Ростове, 19-летняя Людмила работала в нём медсестрой. Береста привезли туда с подозрением на тиф из Сумской области Украины, где он навещал сестёр на своей родине в Горяйстовке. На следующий день после свадьбы вернулся на службу в Германию вместе с женой, которую нелегально провёз на поезде через границы.
В 1948 году в Севастополе у Алексея Прокофьевича и Людмилы Фёдоровны родилась дочь Ирина.
В 1948 году закончил службу в Вооружённых силах в должности заместителя начальника по политчасти передающего радиоцентра узла связи Черноморского флота в Севастополе. По официальным документам, был уволен «за двоежёнство». В дознании, проведённом 11 августа 1948 года, говорилось, что лейтенант Берест, находясь в зарегистрированном браке с гражданкой Котенко Еленой Акимовной с 16.09.1939, не расторгнув этого брака, вступил во второй брак с гражданкой Евсеевой Людмилой Фёдоровной 08.01.1946. Береста решено было предать суду чести младшего офицерского состава при Отделе связи Черноморского флота. Командир написал служебную характеристику на Береста: «…выпивка с подчинёнными, заём денег у подчинённых старшин, отказ посещать Университет марксизма-ленинизма, были случаи, когда тов. Берест проявлял недовольство на экономические трудности».
После увольнения со службы Берест переехал на родину Людмилы Фёдоровны — село Покровское Неклиновского района Ростовской области. Был председателем Добровольного общества содействия флоту в Пролетарском районе, заместителем директора Островянской МТС Орловского района, заместителем директора по политчасти Красноармейской МТС, директором Неклиновского отделения кинофикации. На последней должности был обвинён в хищении и вопреки показаниям свидетелей 14 апреля 1953 года осуждён на 10 лет. По амнистии от 27 марта 1953 года срок наказания был сокращён вдвое.
После досрочного освобождения через три года и два месяца (по другим данным — через два года и шесть месяцев) вернулся в Ростов-на-Дону в посёлок Фрунзе (декабрь 1955). Был полностью реабилитирован и восстановлен в партии, судимость снята. Работал грузчиком на ростовском мельзаводе № 3, (1955—1956), вальцовщиком в литейном цехе на заводе «Главпродмаш» (1956—1959), пескоструйщиком, транспортировщиком и слесарем в сталелитейном цехе на заводе «Ростсельмаш» (1959—1965), грузчиком-экспедитором на пивзаводе «Заря» (1965—1966), слесарем-монтажником на заводе № 1 (1966), экспедитором на базе снабжения Второго треста столовых (1966—1967), заместителем заведующего столовой № 68 (1967—1969), слесарем по ремонту котельной ДУ-41 (1969), грузчиком отдела сбыта на Ростовской кондитерской фабрике (1969—1970).
Алексей Берест стал героем написанного в 1960 году рассказа «Полковник Берест» писателя-фронтовика В. Е. Субботина. Рассказ, рисующий мифологизированный образ офицера Красной Армии, публиковался в СССР массовым тиражом. Другой публикацией, посвящённой военным заслугам Алексея Береста, стал документальный очерк Игоря Бондаренко, опубликованный в журнале «Дон» в 1961 году.
Погиб, спасая девочку из-под колёс скорого поезда «Москва — Баку» на разъезде Сельмаш вечером 3 ноября 1970 года. Скорая приехала через три часа, умер в больнице около трёх часов ночи 4 ноября 1970 года.
Похоронен на Александровском кладбище Пролетарского района в Ростове-на-Дону. На могиле установлен памятный знак. На табличке написано «Участник штурма Рейхстага».
31 октября 1999 года Главное управление кадров совместно с Главным управлением воспитательной работы Министерства обороны Российской Федерации обратилось с просьбой рассмотреть в порядке исключения на заседании комиссии по государственным наградам при Президенте Российской Федерации вопрос о возможности присвоения Бересту звания Герой Российской Федерации (посмертно). В 2003 году комиссия сообщила, что она не поддержала ходатайство о присвоении Бересту этого звания с учётом того, что его заслуги уже были отмечены высокими государственными наградами: орденом Красной Звезды (18.03.1945) и орденом Отечественной войны I степени (19.05.1945).
6 мая 2005 года за боевую отвагу в Великой Отечественной войне 1941—1945 годов, личное мужество и героизм, проявленные в Берлинской операции и водружении Знамени Победы над Рейхстагом, указом президента Украины Виктора Ющенко № 753/2005 Алексею Бересту присвоено звание Герой Украины с присуждением ордена «Золотая Звезда» (посмертно).
17 июля 2025 года указом президента России Владимира Путина Алексею Бересту посмертно присвоено звание Героя Российской Федерации. 12 августа 2025 года помощник президента РФ Владимир Мединский вручил «Золотую Звезду» Героя России внуку Алексея Береста Алексею.