Березин Александр Васильевич родился 22 декабря 1910 года в Орловской губернии (сейчас Липецкая область), г. Елецк. Русский.

С марта 1927 по апрель 1931 года работал электромонтёром на электростанции в городе Елец, затем секретарём комсомольской организации Елецкого известкового завода, с августа 1931 года на должности заведующего массово-экономическим отделом Елецкого райкома комсомола. В ноябре назначен инструктором и председателем райкома комсомола в Елецком кустпромсоюзе.

В ряды Рабоче-крестьянской Красной армии призван 1 июня 1932 года Ленинградским ГВК и по спецнабору ЦК ВКП(б) зачислен курсантом в Ленинградскую школу связи им. Ленсовета. По её окончании в ноябре 1934 года назначен в 20-ю горнострелковую дивизию Закавказского военного округа в г. Ленинакан, где проходил службу командиром штабной роты отдельного батальона связи.

С октября 1936 года — командир роты связи и начальник связи 60-го горнострелкового полка.

В мае 1939 года зачислен слушателем в Военную академию РККА им. М.В.Фрунзе. В сентябре 1940 года переведён на спецфакультет Академии, на базе которого была сформирована Высшая специальная школа Генштаба РККА. Стал слушателем 2-го курса 1-го факультета.

Участник Великой Отечественной войны. С началом боевых действий капитан Березин в августе 1941 года с 3-го курса академии откомандирован в штаб формируемой в Московском округе 54-й Армии на должность старшего помощника начальника оперативного отдела. После завершения формирования Армия убыла на северо-западное направление и заняла оборону по правому берегу р. Волхов. С 26 сентября вошла в состав Ленинградского фронта и вела боевые действия в районе Колпино, участвуя в операции по прорыву блокады Ленинграда. Принимала участие в Тихвинских оборонительной и наступательной операциях.

В декабре 1941 года капитан Березин назначен начальником штаба 80-й стрелковой дивизии. В составе 54-й Армии участвовал в Любанской наступательной операции. С 26 апреля по 26 сентября 1942 года дивизия находилась в обороне на рубеже Макарьевская Пустынь-Смердыня. С 29 сентября вошла в подчинение 8-й Армии Волховского фронта и участвовала в Синявинской оборонительной операции, ведя бои на рубеже Гайтолово-Тортолово. С 23 января 1943 года находилась в составе 2-й Ударной Армии. После упорных синявинских боев в марте-апреле 1943 года дивизия выведена в резерве Волховского фронта, затем передана в 54-у Армию и обороняла рубеж в районе Ларионов Остров, Посадников Остров, Нов. Кириши. С 5 по 25 октября вела наступательные бои по прорыву обороны противника в районе Дидвино, затем обороняла рубеж Макарьевская Пустынь-Егорьевка.

7 ноября 1943 года подполковник Березин назначен начальником штаба 111-го стрелкового корпуса и участвовал в Ленинградско-Новгородской наступательной операции.

С 19 июня 1944 года полковник Березин допущен к командованию 288-й стрелковой дивизией, которая с 7 по 11 июля передислоцирована в район Хверщи (северо-восточнее Пушкинских Гор), где вместе со 122-й танковой бригадой с рубежа реки Великая введена в прорыв, составляя подвижную группу 54-й Армии 3-го Прибалтийского фронта. Стремительно преследуя отступающего противника, 18 июля овладела г. Красногородск, форсировала реку Льжа и вела наступление на Гульбене.

 24 июля под г. Балвы (Латвия) полковник Березин был ранен и до 19 сентября находился в госпитале. Затем вновь командовал 288-й стрелковой дивизией. Через 2 дня её части из района Валга перешли в преследование противника в общем направлении на Даксты-Валмиера, с ходу форсировали реку Седа и овладели городом Даксты, уничтожив до двух вражеских полков. 24 сентября ночью они ворвались в город Валмиера и штурмом овладели им, после чего преследовали противника в направлении Риги. 

С 8 октября 288-я стрелковая дивизия вошла в состав 42-й Армии и была переброшена в район юго-восточнее Добеле, а оттуда перешла в наступление на Салдус. К 1 ноября достигла рубежа озёр Светэс-Аацес и перешла к обороне. В марте-апреле 1945 года дивизия в составе 22-й Армии 2-го Прибалтийского, а с 1 апреля — Ленинградского фронтов вела бои на салдусском направлении, вплоть до капитуляции курляндской группировки противника.

После окончания Отечественной войны продолжил службу в Советской армии. С октября 1945 года полковник Березин находился в распоряжение ГУК НКО.

С февраля 1946 по май 1948 года проходил обучение в Академии Генерального штаба им. К.Е.Ворошилова, по окончании которой назначен старшим офицером-оператором юго-западного направления Главного оперативного управления Генштаба ВС СССР. С февраля 1950 года — зам. начальника направления внутренних округов. С мая 1953 года исполнял должность зам. начальника Управления укомплектования и службы войск ГОУ Генштаба Советской армии. С марта 1955 года служил в Главном штабе Сухопутных войск заместителем начальника Управления укомплектования и службы войск, с сентября 1960 года — начальником Мобилизационного управления. С апреля 1964 года генерал-майор Березин был заместителем начальника, а с января 1968 года — начальником Мобилизационного управления ГОМУ Генштаба ВС СССР.

12 мая 1969 года уволен в запас из Вооружённых сил СССР в звании генерал-майора.

Награждён четырьмя орденами Красного Знамени (19.03.1943, 11.02.1944, 15.10.1944, 1952), орденом Отечественной войны 1-й ст. (06.04.1985), двумя орденами Красной Звезды (1947, 19??), медалями «За боевые заслуги», «За оборону Ленинграда» (1944), «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.» (9.05.1945), «Ветеран Вооружённых Сил СССР и др.

Указом Президента Российском Федерации от 4 мая 1995 года генерал-майор в отставке Березин награждён орденом Жукова.

Умер Александр Васильевич 1 ноября 1996 году. Похоронен в городе Москве.