После окончания неполной средней школы и курсов механизаторов работал в колхозе. В 1941 году был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. С 1942 года — на фронтах Великой Отечественной войны. К октябрю 1943 года старший сержант Александр Бессонов был стрелком-радистом танка Т-34 разведотряда штаба 18-го танкового корпуса 5-й гвардейской танковой армии Степного фронта. Отличился в боях за освобождениеУкраины.

18 октября 1943 года в ходе боя за село Зелёное Петровского района экипаж лейтенанта Ивана Дунаева, в составе которого был и Бессонов, подбил немецкий танк и раздавил 15 автомашин и 146 солдат и офицеров противника. В ходе боя танк был повреждён и загорелся. Бойцы экипажа не покинули горящую машину, а направили её на позиции противника, продолжая сражаться, пока танк не взорвался. Похоронен на месте боя в селе Зелёное.