Был призван в армию в 1941 году, когда ему шел девятнадцатый год. В это время формировалось добровольное народное ополчение Москвы и области. Дивизии ополченцев формировались за счёт мобилизации жителей в возрасте от 17 до 55 лет. Михаил Алексеевич был среди ополченцев Первой дивизии народного ополчения, которая сформировалась в Ленинском районе Москвы. В дивизию пришли добровольцы с крупнейших предприятий Ленинского района и научные работники ведущих институтов. Позже в дивизию пришло пополнение - батальоны Сокольнического района Москвы, Орехово-Зуевского и Ленинского районов Московской области. Батальоны дивизии участвовали в строительства оборонительных сооружений под Москвой, а затем в боевых операциях. В боях под Малоярославцем М.А. Бычков был контужен, попал в плен. Пленных согнали в лагерь под Брянском, а затем эшелонами переправили в Германию, где заставили работать на сельскохозяйственных работах. Только в 1945 советские военнопленные, среди которых был и Михаил Алексеевич, были освобождены французскими войсками, затем военнопленных передали в распоряжение наших войск. За участие в Великой отечественной войне М.А.Бычков награжден Орденом Отечественной войны 2 степени, медалью «За Победу над Германией в ВОВ 1941-1945», юбилейными медалями.