Алексей родился в январе 1925 года в деревне Овинцы Гусь-Хрустального района Владимирской области (ранее Курловского р-на Ивановской обл.). Дед и отец его были учителями дворянского происхождения. 

  Когда Алексею исполнилось 18 лет, в октябре 1943г. он ушел на фронт добровольцем, говоря маме "Я не хочу, чтобы на моей Родине были фашисты и мы стали рабами". Пошел на призывной пункт в Шатуре - там он проходил практику в техникуме. Несмотря на молодой возраст, он с 25 февраля 1944 года  стал заместителем командира отделения 1 стрелковой роты, младшим сержантом.

Он воевал в 270 стрелковой дивизии 975 стрелкового полка 6-й армии. С момента службы Алексея в 1943 г. 6-я армия в составе 1-го Прибалтийского фронта участвовала в Белорусской стратегической операции (23 июня— 29 августа). 4 июля она во взаимодействии с соединениями 5-й ударной армии освободила г. Полоцк.В 1944 г. в ходе освобождения При­балтики принимала участие в Шяуляй­ской (5-31 июля)  наступательной операции. 

Алексей геройски погиб 25 июля 1944 года: " В боях за высоту 171,3 тов. Быковский первым ворвался в траншеи противника, где огнем из ручного пулемета уничтожил до 6 гитлеровцев. В ходе дальнейшего боя в рукопашной схватке, тов. Быковский, проявив мужество и храбрость, погиб"

Его посмертно наградили Орденом Отечественной войны II степени.

Похоронку, а затем орден своего сына Алексея, получила его мама Ефросинья Андреевна Быковская (Русакова). Много лет она переживала смерть сына и плакала, когда слышала песню "Стоит над горою Алеша..." 

Теперь из ЖБД 270 СД ясно, что 25 июля 975 стрелковый полк находился близ местечка Боровка (с 1932 года - Силене) в Латвии. Основным населением в этом местечке и окрестностях были еврейские семьи, расстрелянные немцами и латышскими дивизиями СС еще в 1941 году. Кругом - озера и опустошенные гитлеровцами  местечки, хутора.

25 июля. в день гибели Алексея Быковского, 977, 973 и 975 СП были поставлены задачи - "принять и упорно оборонять боевые участки от двух полков от 9 гв.СД на фронте - южный берег озера Рычу (Ричи) -Карасино. 

В 16.30 973 и 975 СП заняли позиции на рубеже 164,1 - РАКИ. Орудия ПА были поставлены на прямую наводку. В 18.45 после тщательной подготовки к наступлению был дан огневой налет по переднему краю обороны противника. 

973 и 975 СП атаковали противника на рубеже отметки 171,3- МАЗ. Противник встретил атакующих сильным огнем и пехота успеха не имела. 

В этом бою и погиб Алексей Александрович Быковский, потомок польского дворянского рода, названный в честь своего прадеда- Алексея Ивановича Быковского.

Его сестра Лидия в 1984 году приезжала в те места, но конкретных сведений о воинском захоронении “близ местечка Боровка, 300 метров западнее по дороге на опушке леса, могила №13” так и не обнаружилось. Алексея Быковского вписали (учли) в воинском захоронении г.Браслав Белоруссия. 

И сейчас останки советских солдат 270 СД , освобождавших эти места в Латвии и Белоруссии в эти дни, так и не найдены. 25 человек из разных уголков СССР, 25-27 июля защищавших высоту 171,3, лежат в братской могиле №13 на опушке леса близ современного поселка Силене в Латвии.  “У незнакомого поселка, на безымянной высоте”.