Родился 30 апреля 1908 года в селе Юхмачи Российской империи, ныне Алькеевского района Татарстана, в семье рабочего. C 1925 года — житель посёлка Карабаново Владимирской области. 

Призван в Красную Армию в 1933 году, в 1934 году окончил Луганскую военно-авиационную школу. Свои первые боевые вылеты совершил в период советско-финляндской войны 1939—1940 годов, успешно участвовал в бомбардировках и штурмовках с воздуха укреплений линии Маннергейма. Боевое мастерство и умелая плодотворная политработа лётчика, старшего политрука Алексея Чулкова были высоко оценены командованием. Он был награждён орденом Красного Знамени, ему было присвоено воинское звание батальонного комиссара. В боях Великой Отечественной войны с первых дней. К ноябрю 1942 года заместитель командира эскадрильи по политической части 751-го авиаполка майор Алексей Чулков совершил 114 боевых вылетов на бомбардировку военно-промышленных объектов в глубоком тылу противника и его войск на переднем крае.

7 ноября 1942 года, при возвращении с боевого задания в районе города Орша — его самолёт был подбит зенитным огнем и потерпел катастрофу в районе Калуги.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 31 декабря 1942 года за героический подвиг и отличное выполнение боевых заданий командованя майору Чулкову Алексею Петровичу посмертно присвоено звание Героя Советсткого Союза.

Награжден двумя орденами Ленина, двумя орденами Красного Знамени.

Имя Героя носит улица в городе Карабаново Владимирской области.

Горжусь тобой, наш Герой, мой прадед!