Родился 14 июля 1925 года в селе Мохнатый Лог Новониколаевской губернии (ныне Новосибирской области). Когда началась Великая Отечественная война, Алексей перешел только в десятый класс. В тот день, 22 июня 1941 года, он в составе ученической бригады работал на сенокосе. Для армии он был еще молод, поэтому как и все школьники, трудился в колхозе, особенно в период сева, обработки и уборки урожая. В 1942 году, получив аттестат о среднем образовании, поступил в Новосибирский институт военных инженеров транспорта (НИВИТ). Проучился лишь полгода, а в феврале 1943 года его призвали в Красную Армию, послали в Асиновское военно-пехотное училище. Тогда оно находилось в Новосибирской области, теперь – в Томской. Курс обучения был ускоренным. Летом того же года Алексея Цыбу вместе с другими курсантами отправили на фронт.

Лето 1943 года. Курская битва и сражения за Харьков. Алексей Анисимович – на Степном фронте. После освобождения Белгорода этот фронт получил задание двигаться на Харьков. 53-я армия, в которую входила 229-я стрелковая дивизия, наступала вдоль Белгородско-Харьковского шоссе и наносила главный удар – в направлении Дергачей. Ей предстояло во взаимодействии с танковой армией Ротмистрова охватывать Харьков с запада и юго-запада. В середине августа 53-я армия генерал-лейтенанта И.М. Манагарова подошла вплотную к городу. Маршал Г. К. Жуков об этой операции писал так: «Наиболее ожесточенный бой развернулся за высоту 201,7 в районе Полевого, которую захватила сводная рота 229-й стрелковой дивизии» (т. З. стр. 68). Старшина роты связи Алексей Анисимович Цыб в это время находился на командном пункте командира 960-го полка и обеспечивал связь между подразделениями и дивизией. Наступление наших войск шло успешно, и противник начал отступать. Утром 23 августа 1943 года войска Степного фронта под командованием генерала И. С. Конева вошли в Харьков. За особые отличия в боях 229-я дивизия получила почетное наименование Харьковской. Взятием этого города успешно завершилось крупнейшее сражение Великой Отечественной войны – Курская битва. 
Начались бои за Украину. Главным препятствием на пути Красной Армии стал Днепр. Верховный Главнокомандующий дал указание принять все меры к быстрейшему захвату Днепра, чтобы немцы не успели превратить Донбасс и Левобережную Украину в пустыню. «Это было правильное требование, так как фашисты, отступая, в звериной злобе предавали все ценное огню и разрушению, – замечает Г. К. Жуков. – Они взрывали фабрики, заводы, превращали в руины города и села, уничтожали электростанции, доменные и мартеновские печи, жгли школы, больницы. Гибли тысячи детей, женщин, стариков» (Г. К. Жуков. т. 3. стр. 78). 
Степной фронт под командованием И. С. Конева получил приказ – наступать на Полтавско-Кременчугском направлении. Фашисты упорно сопротивлялись, но уже не могли сдержать наступление Красной Армии и отходили к Днепру. Нам необходимо было быстро, с ходу, форсировать его. 23 сентября 1943 года войска Степного фронта освободили Полтаву и подошли к Днепру. Полк, в котором служил Алексей Анисимович Цыб, форсировал эту могучую реку в районе Кременчуга. Он, будучи связистом, занимался своим делом. Об одном из эпизодов тех дней рассказывает сам Алексей Анисимович: «Это было ненастной октябрьской ночью 1943 года на Днепровском плацдарме. Наша дивизия форсировала реку, закопалась в прибрежные пески на правом берегу, еще занятом фашистами. Мы с Колей Рубаном, солдаты полковой роты связи, сидим в окопчике. Между КП командира полка, который мы обслуживаем, и находящейся в нескольких стах метров впереди линией окопов нашей пехоты – «долина смерти». Это простреливаемая насквозь одна из старых пойм Днепра – голая и ровная... Наши телефонные линии связи от КП до батальонов проложены прямо по поверхности песка. По середине долины протекает какой-то ручеек. И по его дну мы протянули непромокаемый немецкий провод. Ниток у нас две, параллельно идущих. Если во время боя или обстрела одну перебьют, телефон переключатся на другую до вечера. А с наступлением темноты мы восстанавливаем поврежденную. Если днем обе перебиты, тогда надо бежать под обстрелом, чтобы восстановить хоть одну. Поэтому и потери у нас, связистов, большие. Когда в охоту за связистами вступают вражеские снайперы, по нам бьют зажигательными пулями. И вдруг – зуммер нашего телефонного аппарата в деревянной коробке. Звонит Галя – телефонистка КП. Хорошая девушка Галя! Как приятно, когда часто по ночам, в затишье, она поет тихонько в трубку, чтобы телефонистам не дремалось на линиях. Ведь у всех трубки привязаны к уху, чтобы был слышен зуммер. И в то же время ее неожиданные ночные звонки всегда тревожны – что-то случилось. - Бегом на линию! У вас приятная ночная пробежка по долине! Надо бежать. Мы надеваем через плечо свои коробки-аппараты, карабины, проверяем наличие гранат в карманах фуфаек. Есть такой прием у гитлеровцев, охотящихся за «языком»: перерезать линию, один конец затащить в кусты или воронку, затаиться там и ждать. А связист (хороший «язык» на фронте) сам прибежит. Поэтому мы бежим на линию ночью так: по сжатой ладони левой руки скользит провод, а правая - в кармане сжимает гранату. В случае чего, если не метнуть, то самого себя взорвать можно. 
Выскакиваем из окопчика. Побежали, пригнувшись. Коля сразу исчез в темноте. Бегу. Навстречу попадаются солдаты: несут раненых. Обгоняю несущих ящики с боеприпасами. Перехожу ручей. Дальше иду медленнее, осторожнее: нет ли ловушки. И вдруг провод выскальзывает из рук - обрыв. Вот он, след немецкой мины. Ищу второй конец. Достаю нож, зачищаю, добавляю кусок кабеля из своего запаса, соединяю, изолирую, раскрываю коробку аппарата, подключаюсь, втыкаю ложку в песок (заземление) и вызываю: 
- «Лес», а «Лес»! Я «Береза»! Как меня слышите? Слышу радостный Галин ответ. Оказывается, я появился первым. Коля еще не давал о себе знать. Отключаюсь и бегом возвращаюсь «домой». Жду Колю. И... засыпаю. 
Просыпаюсь. Котелок почти остыл. Коли нет. Выползаю из окопчика. Ранний рассвет. Густой молочный туман. В двух шагах ничего не видно. Возвращаюсь. Звоню в «Лес», к Гале. Да, Колина линия работает. Он звонил после меня. Порыв был недалеко от окопов пехоты. Он был у солдат, звонил от них, спрашивал обо мне, сказал, что возвращается. И больше звонков не было. 
Бегу в молочном месиве, держа провод в руках. Добегаю до окопов, через долину. 
- Эй, связисты, это вы своего ищете? Бежим на голос. В сторону от КП, в сторону от Колиной линии. Окликаем. Слышим тот же голос. Подходим. Полукругом стоят саперы. В центре, на песке, лицом вниз, вытянув вперед полусогнутые руки, Коля. Рядом – телефонный аппарат. 
- Ваш?
- Да, – кричу я, падаю, переворачиваю Колю лицом вверх. Глаза закрыты. В лице ни кровинки. 
Лейтенант нагибается, вновь переворачивает Колю, оголяет спину. Против сердца, под лопаткой, - входное отверстие от пули и маленькая капля крови. Вот она, причина смерти...»

Вскоре после этого, уже на правом берегу Днепра, фашисты тан¬ками атаковали командный пункт полка. Алексей Анисимович Цыб при отражении этой вражеской атаки был ранен осколком в голову. Направили в госпиталь на левый берег. Подлечили. Скоро выписка. В это время у каждого солдата возникает мысль: куда, в какую часть направят? Каждому хочется вернуться в свой полк, к своим боевым товарищам. Поэтому он и еще один подлечившийся солдат удрали из госпиталя. Пошли в сторону фронта искать свою дивизию. Где шли пешком, где ехали на попутных машинах. Возвратились в свой полк.

И снова бои. В конце 1943 года Второй Украинский фронт сражался за Кировоград. Алексею Анисимовичу пришлось искать и исправлять разрыв телефонного кабеля. Нашел, восстановил связь, но был вновь тяжело ранен. Полдня пролежал на нейтральной полосе. Санитары пришли только вечером, отправили в медсанбат, потом – в госпиталь. Лечили в Кременчуге, в Казани. И только летом 1944 года его выписали, демобилизовав из армии. Домой вернулся на костылях. 
Стал работать учителем Мохнатологовской сельской школы. Одновременно заочно учился в НГПИ. Потом возглавил Петропавловскую среднюю школу. Все эти годы поддерживал тесную связь с кафедрой педагогики, с ее заведующим Юрием Владимировичем Шаровым. Писал научные статьи, публиковал их в Москве и даже в Берлине. Позднее, работая директором школы в Тогучине, написал кандидатскую диссертацию, защитил ее, а через четыре года по приглашению Пединститута пришел работать на кафедру педагогики.

Преподавал на индустриально-педагогическом факультете, заведовал кафедрой теории и методики трудового обучения и воспитания. После преобразования ИПФ в факультет технологии и предпринимательства Алексей Анисимович - доцент кафедры педагогики, психологии и предпринимательства на этом факультете. За тридцать лет в НГПИ - НГПУ он написал и опубликовал более 30 научных работ. Эти работы издаются не только в Новосибирске, но и в Ярославле, Уфе, Улан-Удэ и других городах России. Среди его книг - 5 учебных пособий по педагогике и психологии, краткий курс лекций. За свои боевые и трудовые подвиги Алексей Анисимович награжден орденом Отечественной Войны I степени, медалями «За боевые заслуги», «За победу над Германией», «За доблестный труд в Великой Отечественной войне», «За мужество и любовь к Отечеству», «За освоение целинных земель» и многими юбилейными. Министерство образования Российской Федерации присвоило Алексею Анисимовичу Цыбе звание «Почетный работник высшего профессионального образования России» с вручением нагрудного знака. Алексея Анисимовича сегодня с нами нет, но он продолжает жить в наших сердцах.

Его нелегкая героическая жизнь стала примером для нас: детей, внуков и правнуков.