Родился в 1896 году в деревне Никольский погост Пустораменского сельского совета Харовского района. В браке был два раза. Первая жена, Евлампия Ивановна, родила шесть детей: Марию, Нину, Михаила, Екатерину, Лидию, Никандра. Евлампия рано умерла (29 августа 1936 года). Афанасий Михайлович много работал, доставлял продукты питания на лошадях в сельпо. Вторая жена Александра Алексеевна, 1906 года рождения в июле 1941 года родила сына Николая. В сентябре 1941 года Афанасия Михайловича отправили на фронт. Всех детей воспитывала Александра Алексеевна.  В одном из писем Афанасий Михайлович обращается к своей семье такими словами: "Здравствуйте, многоуважаемая моя супруга Александра Алексеевна, от супруга Вашего Афанасия Михайловича и деткам моим посылаю я вам свое мужское и отцовское почтение".  В мае 1942 года находился в расположении части - полевая почта 75679. В январе 1944 года в операции по прорыву блокады Ленинграда принимала участие 12-я отдельная лыжная бригада, в которой находился Афанасий Михайлович.  Под Гатчиной шли жестокие бои. В ходе операции под кодовым названием «Искра» отличились многие бойцы. Радость победы, однако, была омрачена гибелью солдат. Среди бойцов бригады, героически павших 26 января 1944 года на поле боя около деревни Смольково Ленинградской области, был и Ельцов Афанасий Михайлович. Он захоронен в братской могиле, в деревне Елизаветино Волосовского района Ленинградской области. А.М. Ельцов внесен в книгу памяти города Ленинграда и книгу памяти Харовского района Вологодской области.