Родился в 1914 году в селе Лорино Чукотского района Камчатской области. До войны работал переводчиком,  секретарем Чукотского райкома комсомола. Принимал активное участие в спасении челюскинцев. В 1937 году после принятия решения о создании в Анадыре аэроклуба именно ему было поручено подобрать подходящих ребят на курсы. Он организовал сбор средств на покупку учебного самолета, парашютов и другого оборудования. Тимофей возглавлял тогда Анадырский райком комсомола, и самого его в аэроклуб отпустили не сразу. После окончания аэроклуба Елков продолжал образование в Тамбовской школе ГВФ.

В первые годы войны работал в аэропорту на мысе Шмидта, обеспеичвая авиатранспортными перевозками весь восточный сектор Северного Морского пути. Затем учился в Сасовском авиационном училище. Боевое крещение получил на Ленинградском фронте, о чем написала газета «Правда» 15 июня 1944 года в заметке «Штурмовики громят врага»: «Ленинградский фронт. 14 июня. Спец. кор. ТАСС. Боевое крещение получил сегодня молодой пилот, уроженец Чукотского полуострова чукча Тимофей Елков. Во время налёта на вражескую станцию в самолет Елкова попал снаряд, повредивший масляную систему. Лётчик продолжал выполнять боевое задание. А затем благополучно «дотянул» до своего аэродрома».

 Он воевал в 566 штурмовом авиационном полку 13-й воздушной армии, который наносил штурмовые удары по оборонительным сооружениям немцев на Карельском перешейке. Тимофей писал с фронта жене: «Я чувствую, очень изменился здесь, на фронте, а что же – и пора…в  перерыве между боями я мечтаю. О чем? О дне, когда разгромим фашистов и кончится война, и мы вместе отпразднуем победу. И еще я мечтаю о Чукотке, о нашем Уэлене, о встрече с моими чукотскими друзьями…»

Погиб 26 июня 1944 года в боях в ходе Выбогской наступательной операции в районе карельской речки Перти.