Аслан Мамед оглы Гарашаров родился 9 ноября 1919 года в городе Шуша в азербайджанской семье. В 1939 году был призван в ряды Красной Армии. С 1942 года являлся членом ВКП(б).

В годы Великой Отечественной войны служил в артиллерийских частях Красной Армии и командовал артиллерийской батареей. Принимал участие в боях на Северном Кавказе и в Ростовской операции. Проявил мужество и стойкость в тяжелых боях против немецких войск.

11 февраля 1943 года во время обороны села Семерниково Ростовской области батарея под командованием Аслана Гарашарова вела ожесточенный бой против наступающих немецких танков. В ходе сражения его подразделение уничтожило 8 танков противника. Несмотря на тяжелую обстановку и превосходящие силы врага, Аслан Гарашаров продолжал руководить боем до конца и героически погиб на поле боя.

За проявленные мужество и героизм старший сержант Аслан Мамед оглы Гарашаров был посмертно награжден орденом Красного Знамени. Первоначально был похоронен в братской могиле на территории Нижне-Гниловского кладбища, позднее перезахоронен на территории Кумженского мемориала в Ростове-на-Дону.

Имя Аслана Гарашарова увековечено на мемориальной доске в Ростове-на-Дону. Одна из улиц города Шуша носит его имя.