Родился 12 апреля 1925 года в г. Минске. В 1932 году поступил в восьмилетнюю школу № 27 г. Смоленска, которую закончил в 1940 году. В том же году поступил в ремесленное училище г. Вязьмы Смоленской области и в 1941 году его закончил. С 1941 по 1943 год работал электромонтёром на заводе «Арсенал» в г. Куйбышеве.

В ноябре 1943 года ушёл добровольцем на фронт и был направлен в полковую школу младших командиров, которая находилась в городе Тейково Ивановской области. После окончания школы был назначен командиром отделения 353 воздушно-десантного стрелкового полка, с которым прошёл путь от Румынии до Австрии.

Командир отделения, Борис Феликсович Климчак, свой орден Славы III степени получил в 1944 году за мужество и доблесть, проявленные в боях за город Будапешт.

Во время наступления Борису Феликсовичу была поставлена задача: закрыть один из флангов обороны. Окопавшись и установив свой пулемёт, он занял оборону. Когда началось наступление фашистов, он уничтожил большое количество живой силы противника, подбил вражескую танкетку, в результате чего атака немцев захлебнулась, они начали отступать.

С апреля по август 1945 года Б.Ф. Климчак находился на излечении в госпитале после ранения.

С 1946 по 1949 г.г. Б. Ф. Климчак – начальник склада в штабе МПВО.

С 1949 по 1958 г. работал водителем в Смоленской отдельной автороте и Смоленском областном онкологическим диспансере.

В 1958 году Климчак Б.Ф. перешел на работу в УВД Смолоблисполкома. Работая год в органах внутренних дел, Борис Феликсович овладевал знаниями по дорожному надзору. Работал инспектором дорнадзора, госавтоинспектором, командиром мотовзвода опердивизиона, начальником отделения РУД Промышленного РОМ, командиром отдельного дивизиона дорнадзора ГАИ УВД Смолоблисполкома.

С 1979 по 1984 г. подполковник милиции Климчак Б.Ф. работал в должности заместителя начальника хозяйственного отдела УВД Смоленской области.

Награжден орденом Славы III степени, медалями «За отвагу», «За оборону Ленинграда», «За победу над Германией».