С декабря 1939г. курсант  военного авиационного училища летнабов и штурманов.

23 января 1940г. принял военную присягу.

28 ноября 1940г., по окончанию училища, присвоено звание младший лейтенант. 

Направлен младшим летнабом в 48 скоростной бомбардировочный авиаполк.

С июля по сентябрь 1941г. воевал на Юго-западном фронте. Совершил 12 боевых вылетов.

С марта 1943г.- на Северо-Кавказском.

С августа 1943г.- на Степном фронте.

С сентября 1943г. штурман экипажа 930 ночного бомбардировочного авиаполка.

К концу января 1944г. лейтенант Костров совершил 52 боевых вылетов в составе полка.

Приказом от 20 февраля 1944г. был награжден орденом Отечественной войны II степени.

В ночь с 16 на 17 февраля, выполняя задание генерал-полковника авиации Худякова, участвовал в бомбардировке окруженной группировки противника в Шендеровке. Задание выполнялось в условиях низкой облачности (200-300м.) и плохой видимости. Цели поражались с высоты 200-250 метров под ружейно-пулеметным огнем противника. Задание было выполнено.

Приказом от 06 марта 1944г. Александр Иванович был награжден орденом Красного Знамени.

17 октября 1944г. экипаж: старший летчик младший лейтенант Анисимов Александр Александрович и штурман Костров- выполнил разведывательный вылет в район южнее г.Дебренец (Венгрия), где находились окруженные 3 и 13 кавалерийские дивизии. Полет проходил на высоте нескольких метров. Штурман Костров проложил курс между поселками, которые были заняты противником. Задача была выполнена-. Кавалеристам были доставлены указания об устройстве площадок для приема самолетов с боеприпасами. Экипаж вернулся с данными о положении дел в дивизиях.

Александр Иванович был представлен к ордену Красного Знамени. Приказом от 30 ноября 1944г. награжден орденом Отечественной войны I степени.

Награжден медалью «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.».

09 мая 1946г. старший лейтенант Костров был награжден медалью «За взятие Будапешта».

За долголетнюю и безупречную службу в 1950г. был награжден медалью «За боевые заслуги».

Старший лейтенант Костров был уволен в запас 05 сентября 1951г.