Родился 8 марта 1921 года на хуторе Кулаково, в крестьянской семье Никиты Фёдоровича и Христины Андреевны Кравцовых, русский. В детском возрасте семья переехала в Чугуевский район, Харьковской области, где работала в колхозе «Заветы Ильича». Н.Н. Кравцов окончил семилетнюю школу и два курса фельдшерской школы в Чугуеве.

В августе 1939 года призван в РККА, в 1940 году окончил Харьковское военно-медицинское училище. Начал участие в боях с 22 июня 1941 года на Юго-Западном фронте. Уже 26 июня 1941 года был легко ранен, затем получил второе ранение 29 сентября 1941 года. В действующей армии находился до 10 октября 1941 года. Вновь отправлен на фронт 15 февраля 1943 года, занял должность военного фельдшера истребительно-противотанкового артиллерийского полка 1-й истребительной бригады (предшественницы 42-й ИПТАБР).

Отличился в боях на Юго-Западном фронте в Днепропетровской области: 20 сентября 1943 года в районе деревни Ново-Николаевки Павлоградского района и 24 сентября 1943 года в районе деревни Любимовка. Под сильным артиллерийским и миномётным огнём Н.Н. Кравцов вынес с поля боя 38 раненых солдат и офицеров, и оказал им медицинскую помощь. Приказом командующего артиллерией 3-го Украинского фронта от 17 декабря 1943 года был награждён Орденом Красной Звезды. 

Вновь отличился в ходе боёв на Украине весной 1944 года. 1961-й истребительно-противотанковый артиллерийский полк (из состава 42-й ИПТАБР) был придан 9-й гвардейской казачьей кавалерийской дивизии, которая в свою очередь входила в состав 1-й гвардейской конно-механизированной группы. После освобождения 10 апреля 1944 года Одессы, группа наступала на юго-запад, по направлению к Днестровскому лиману, догоняя и уничтожая отходившие части противника и препятствуя выходу окружённых частей. В бою под Александровкой 11 апреля 1944 года, находясь в тылу противника, Н.Н. Кравцов оказал медицинскую помощь и вынес с оружием в расположение части одного офицера и двух солдат, а также оказал своевременную медицинскую помощь 15 советским солдатам. Был представлен командиром полка к медали «За отвагу», но командиром 9-й гвардейской казачьей кавалерийской дивизии 21 апреля 1944 года был награждён медалью «За боевые заслуги».

Во время Белградской наступательной операции бригада, в которой служил Н.Н. Кравцов была придана 4-му гвардейскому механизированному корпусу. 13 октября 1944 года участвовал в уничтожении и пленении группы противника, пытавшейся вырваться с подбитого на станции Рипань эшелона. Н.Н. Кравцов лично уничтожил пять солдат и участвовал в пленении группы до 100 человек.

15 октября 1944 года в составе штурмовой группы участвовал в уличных боях, выполняя специальное задание командира корпуса по взятию телефонной и телеграфной станций Белграда. Вместе с двумя бойцами Н.Н. Кравцов влез по водосточным трубам и карнизам в окно телеграфа и уничтожил там до 10 солдат и станковый пулемёт.  Однако дальнейшему продвижению мешал пулемёт, ведущий огонь из дота. Н.Н. Кравцов, подобравшись к пулемёту, в упор расстрелял расчёт из автомата, однако сам был ранен и 18 октября 1944 года скончался в госпитале. 

Звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» Н.Н. Кравцову присвоено посмертно 24 марта 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм. 

Был похоронен 22 октября 1944 года в братской могиле в Белграде. На могиле установлен памятник.

Имя Н.Н. Кравцова носит школа в Чугуеве, в школе создан музей. В Белграде именем героя названа улица.