Жил и работал на прииске Уохит (Буоятия). В семье росли пятеро детей.

25  декабря 1941г. призван по мобилизации Баунтовским райвоенкоматом Бурят-Монгольской АССР.

04 января 1942г. в составе команды военнообязанных убыл из Улан-Удэ в Цугольский Доцан в 91 запасной стрелковый полк 41 запасной стрелковой бригады Забайкальского военного округа. 

06 января команда прибыла в полк.

Максим Ефимович  прошел курс подготовки, как пулеметчик ручного пулемета.

10 февраля 1942г. в составе маршевой роты №3119 убыл в действующую армию.

Зачислен в состав 1238 стрелкового полка 372 стрелковой дивизии.

С 22 февраля дивизия находилась юго-западнее д.Спасская Полисть (Чудовский р-н, Новгородская обл.). Получив пополнение, дивизия участвовала в боях за Спасскую Полисть. Враг подтянул резервы и отразил все наши атаки.

08 марта части дивизии были выведены во второй эшелон для укомплектования. Находились в средине созданного прорыва в районе д.Мостки (южнее Спасской Полисти), принимали пополнение в вели боевую подготовку.

15 марта после артподготовки и авианалета противник перешел в наступление из района Спасской Волости. Была прорвана оборона 374 стрелковой дивизии. Части 372 стрелковой дивизии были направлены на ликвидацию прорыва. 16 марта дивизия провела контратаку, которая была отбита врагом. Дивизия перешла к обороне района Мостки, предпринимая попытки контратаковать противника.

Красноармеец Кривошеев был тяжело ранен осколками. С 28 марта находился в полевом подвижном госпитале ППГ 2190. Скончался 25 апреля 1942г. Возможно, был похоронен в братской могиле в пос.Селище Чудовского р-на Новгородской обл.