Родился в 1923 году в Петрограде.

Был младшим ребёнком в рабочей семье, рано остался без матери. В июне 1941 года окончил 10-й класс средней школы, а 22 июня началась Великая Отечественная война.

Для него война началась в августе под бомбёжкой и обстрелом оборонительных рубежей Ленинграда под Лугой и Красным Селом. Их строили ленинградцы на подступах к любимому городу.

В сентябре 1941, когда Ленинград оказался в блокаде, Борис Константинович добровольцем пришёл в военкомат записываться в Красную Армию. В это время его три старших брата уже сражались с фашистами на фронте.

Боевое крещение Борис Константинович принял недалеко от Пулковских высот. Дивизия, в которой он воевал красноармейцем, всю осень держала оборону между Детским Селом (ныне город Пушкин) и Пулковом.

В декабре 41-го войсковая часть, в которой воевал Борис Константинович, была выведена в тыл на переформирование и отдых, а уже через неделю их по ледовой Дороге Жизни на Ладоге перебросили к Синявинским высотам, где шли тяжёлые бои – первая попытка разблокировать город. Здесь Борису Константиновичу пришлось служить на передовой линии фронта бойцом в миномётном расчёте. В зимнюю стужу в окопах он обморозил ноги, трудно было ходить, и его спасло ранение в ногу, с которым он был отправлен в госпиталь. После излечения и восстановления физических сил, весной Борис Константинович снова на фронте в войсковой части под Синявинскими высотами, где воевал рядовым бойцом-связистом.

Зимой, в один из дней начала 1943 года, при устранении обрыва в телефонной линии связи, Борис Константинович получил второе ранение – пуля снайпера прошла навылет через его шею и грудную клетку. После этого ранения он был доставлен в тыловой госпиталь, в город Великий Устюг Вологодской области.

После излечения от ранения, Бориса Константиновича направили в военное училище, по окончании которого он был произведён в лейтенанты и в начале 1944 года отправлен на Ленинградский фронт командиром пулемётного взвода. В момент его прибытия туда войсковая часть, в которой он должен был воевать, форсировала реку и захватила плацдарм на вражеском берегу. Пулемётный взвод, которым должен был командовать лейтенант Окунев, находился на этом плацдарме. Ночью с двумя гранатами в карманах (другого оружия молодому офицеру не выдали), под обстрелом он перебрался по льду на другой берег реки и вступил в командование пулемётным взводом, командир которого был убит. В то время части Красной Армии там вели тяжёлые наступательные бои. Фашисты стремились всеми силами уничтожить бойцов на плацдарме. Вскоре в одном из боёв Борис Константинович получил контузию и третье ранение головы осколком мины. И вновь он оказался в госпитале, на этот раз в Ленинграде. Здесь он узнал, что его отец умер весной 1942 года от истощения.

После выписки из госпиталя в конце мая 1944 года лейтенант Окунев Б.К. направлен на фронт – командиром пулемётного взвода, принимает участие в Нарвской наступательной операции. В сентябре 1944 года получает пулевое ранение мягких тканей плеча.

После излечения в сентябре Бориса Константиновича направили продолжать службу на Прибалтийский фронт, войска которого блокировали и громили врага в так называемом "Курляндском котле".

Победу в Великой Отечественной войне Борис Константинович встретил в Латвии командиром пулемётного взвода армейского запасного стрелкового 221 полка в звании лейтенанта в окрестностях населённого пункта Броцены.

За мужество, проявленное в боях, он был награждён орденом Отечественной войны, медалями "За оборону Ленинграда", "За победу над Германией".

Закончилась война. Борис Константинович вернулся домой в Ленинград. В квартире никого не было – отец умер в блокаду, один брат погиб на фронте, другой без вести пропал под Ленинградом в конце 1941 года. Через полгода пришёл с войны его старший брат Константин.

Борис Константинович после службы в армии поступил работать на Кировский завод, где трудился в ОТК больше 30 лет.

Окунев Борис Константинович скончался в январе 2015 года на 92-м году жизни.