С 1924 по 1928год учился в начальных классах в школе с. Владимиро-Борисовка, с 1928 по 1932 годы продолжал учёбу в школе г. Атбасар Акмолинской области. С 1932 по 1935 годы работал в овцеводческом совхозе Атбасарского района.

В сентябре 1935 года поступил в Боровской лесной техникум на лесоводческое отделение и окончил обучение 1 июля 1939 года. После чего был направлен на работу в Кар-Каралинское лесничество Карагандинской области, откуда призван в ряды Красной армии и направлен на учёбу в артиллерийское училище в г. Свердловск. Точных сведений о том, когда Григорий был отправлен на фронт не сохранилось.

 Из данных Архива Министерства Обороны Союза ССР города Подольска Московской области (письмо №38326), присланных на запрос сестры Григория Анищук Таисии Ивановны 25 марта 1968 года известно, что приказом Калининского фронта №0238/П от 10.07.1942 года в должности военкома дивизиона 932 артиллерийского полка 375 стрелковой дивизии Григорию Ивановичу присвоено звание «старший политрук»,а Приказом Западного фронта №061/П от 15.11.1942 года присвоено воинское звание «капитан». Из этого же письма, согласно приказу ГУКВС №01996 от 14.08.46 г. сообщается, что Побегай Г.И в декабре 1942 года пропал без вести. Однако, сохранилось извещение командира части – подполковника Губарева и начальника штаба - гв. капитана Голубева о том, что Побегай Григорий Иванович был убит 3 декабря 1942 года, проявив геройство и мужество, и похоронен в деревне Муравьёво 2-е, Ржевского района, Калининской области. Позже, в 1978 году сестре Григория Ивановича Таисии Ивановне в ответ на запрос красным следопытам, очень активно работающим в те годы, пришло письмо от зам. директора по воспитанию СШ №23 (г. Ржева Калининской обл.) Горской Маргариты Павловны, в котором она выслала фотографию братской могилы с именем Побегай Григория Ивановича на обелиске.