Анатолий Михайлович Пузиков родился 22 июня 1925 года в уездном городе Орске Оренбургской губернии РСФСР СССР (ныне город областного подчинения Оренбургской области Российской Федерации) в семье рабочего. Русский. Окончил семь классов школы № 10. До призыва на военную службу работал токарем на военном заводе № 257[2].

В ряды Рабоче-крестьянской Красной Армии А. М. Пузиков был призван Орским городским военкоматом Чкаловской области[3] 17 декабря 1942 года. Прошёл военную подготовку в Орской школе снайперов. В действующей армии красноармеец А. М. Пузиков с февраля 1943 года. В боях с немецко-фашистскими захватчиками Анатолий Михайлович с ноября 1943 года на 2-м Украинском фронте в должности наводчика артиллерийского орудия 186-го гвардейского стрелкового полка 62-й гвардейской стрелковой дивизии 37-й армии. Участвовал в боях за расширение плацдарма на правом берегу Днепра в ходе Пятихатской и Знаменской операций. 14 декабря 1943 года в бою на реке Ингулец он был тяжело ранен и эвакуирован в госпиталь.

После выздоровления А. М. Пузиков в звании младшего сержанта был направлен на 1-й Прибалтийский фронт, где его зачислили автоматчиком в 213-й гвардейский стрелковый полк 71-й гвардейской стрелковой дивизии 6-й гвардейской армии. Перед началом Белорусской стратегической операции Анатолий Михайлович был назначен командиром штурмового отделения автоматчиков. Особо отличился в Витебско-Оршанской операции, составной части операции «Багратион».

Утром 22 июня 1944 года артиллерийская канонада возвестила о начале крупномасштабного наступления 1-го Прибалтийского фронта в Белоруссии. Непосредственно за огневым валом подразделения 213-го гвардейского полка пошли на штурм вражеских укреплений у деревни Орехи[4] Шумилинского района Витебской области Белорусской ССР. Впереди полка наступало отделение гвардии младшего сержанта А. М. Пузикова. Анатолий Михайлович первым ворвался в траншеи врага и в рукопашной схватке лично уничтожил четырёх немецких солдат. 23 июня 1944 года при прорыве немецкой обороны у железнодорожной станции Шумилино гвардии младший сержант Пузиков со своим отделением вновь первым ворвался на позиции неприятеля. Ведя бой в немецких траншеях, он лично истребил трёх вражеских солдат. После освобождения Шумилино, действуя десантом на танках, Анатолий Михайлович со своими бойцами устремился к Западной Двине. 24 июня 1944 года на самодельном плоту под артиллерийско-миномётным обстрелом противника он вместе с гвардии сержантом А. Александровым форсировал водную преграду у села Мамойки Бешенковичского района Витебской области Белорусской ССР, и заняв позицию на левом берегу реки, прикрыл переправу своего отделения. Немцы вскоре обнаружили группу советских бойцов и попытались её ликвидировать. Но гвардейцы стойко удерживали занятые рубежи и отразили все атаки противника, уничтожив при этом до 30 солдат вермахта. На удержанный отделением гвардии младшего сержанта А. М. Пузикова плацдарм вскоре начали переправу основные силы 213-го гвардейского стрелкового полка. Планы немецкого командования остановить наступление советских войск на рубеже Западной Двины были сорваны. За образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 июля 1944 года гвардии младшему сержанту Пузикову Анатолию Михайловичу было присвоено звание Героя Советского Союза.

О присвоении высокого звания А. М. Пузиков узнал в госпитале, куда он попал после тяжёлого ранения в руку, полученного в боях под Полоцком через несколько дней после событий на Западной Двине.