Родился в д. Каменново Палехского района Ивановской области, где и проживала его мать. По сведениям правнучатой племянницы Калёновой Екатерины Николаевны из г. Южи Ивановской области, Рябинин А.Е. родился в 1918 году и при рождении назван Антонием, однако во всех архивных документах проходит как Антон 1917 г.р.  В крестьянской семье Марии Капитоновны и Ефима Ивановича Рябининых было шестеро детей: Дмитрий, Аркадий, Антоний, Ольга, Лидия и Фелизата. Жена Антония Ефимовича Рябинина Валентина Степановна, преподаватель начальных классов. Дочь Земфира 1939 года рождения.

Призван из запаса 26 сентября 1939 г. Пропал без вести 26 мая 1942 г.на Юго-Западном фронте в Близнюковском направлении Харьковской области.