Родился в 1917 г. в семье работников образования. В 1920 г. семья переехала в г. Ростов-на-Дону. В 1935 г.  М.А. Шленёв окончил ростовскую среднюю школу №3 им. С.М. Будённого. Чтобы обеспечить уход за больной матерью он был вынужден устроиться на паровозоремонтный завод котельщиком. После того как здоровье матери улучшилось и она смогла устроиться на работу, Михаил Александрович смог продолжить учёбу и поступил на физико-математический факультет Ростовского Государственного университета, который окончил с отличием в 1941 г.  

После демобилизации в 1944 г. поступил в аспирантуру при РГУ, которую закончил в 1947 г. С 1945 г. начал работать в Ростовском инженерно-строительном институте (РИСИ), где трудился до самой кончины в 1980 г. В 1956 г. защитил диссертации на звание кандидата физико-математических наук. В 1962 г. М.А. Шленёву было присвоено звание доцента. В тот же год возглавил кафедру теоретической механики РИСИ. В 1967 г. защитил докторскую диссертацию. В 1977 г. был удостоен звания профессора ВАК. За годы научной деятельности опубликовал более 60 работ в области теории расчёта плит и оболочек. Под научным руководством было подготовлено и успешно защищено большое число диссертаций. Научную деятельность М. А. Шленёв успешно сочетал с преподавательской, в течение нескольких лет руководил методическим городским семинаром. Все читаемые им курсы — как общие, так и специальные — пользовались неизменной популярностью у студентов.