Родился в 1924 году в д. Алексеевская Тарногского района Вологодской обла­сти. В мае 1943 года он прошел обучение в Велико-Устюгском военном училище и в звании младшего лейтенанта был направ­лен на службу в 206-й запасной стрелковый полк 2-го Белорусского фронта. Обучал новобранцев военному делу в качестве ко­мандира учебно-минометного взвода.

С 1944 года в составе 680-го стрелко­вого полка 169-й Рогачевской Краснозна­менной стрелковой дивизии участвовал в боях на территории Польши и Германии. 1 марта 1945 года в Восточной Пруссии Афанасий Григорьевич получил тяжелое ранение и был отправлен в эвакогоспи­таль. 

С этого времени он связал свою жизнь с отправлением правосудия. В 1953 году окончил Ленинградский юридический институт. Работал на­родным судьей в Петриневском, Бабушкинском, Вытегорском и Тотемском районах. С 1963 по 1982 год являлся бессменным председателем Тотемского районного суда. В 1969 году А. Г. Силинскому было присвоено почетное звание «Заслуженный юрист РСФСР».

За ратные и трудовые подвиги награжден многими медалями: «За до­блестный труд», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне», орденом Красной Звезды и Отечественной войны I степени, юбилейными Почетными грамотами и благодарностями за общественную работу районными и областными властями. Был членом районного совета ветеранов. Вел большую работу по военно-патриотическому воспитанию молодежи, был частым гостем у школьников и учащихся училища механизации. Активно защищал социальные и правовые стороны жизни ветеранов.