В Красной Армии с ноября 1931г.

Вероятно, окончил военную авиационную школу.

К 1939г. служил в составе 150 смешанного авиаполка. Полк базировался в Монголии.

Со второй половины мая 1939г. полк готовился к участию в боевых действиях в районе р.Халхин-Гол.

Первые два боевых вылета полк произвел 03 июля 1939г.

29 июля в 04-20 три девятки самолетов СБ вылетели на бомбардировку скопления пехоты и артиллерийских позиций в 2-3км. южнее Номон-кан-бурд-обо. Бомбометание произвели в 06-10 с высоты 2500м. Были обстреляны зенитной артиллерией. 

В девятке комэска Редькина Александра Васильевича- экипаж штурмана Хатунцева привез назад 2 бомбы АО-20.

К 05 августа полк совершил 16 боевых вылетов.

23 августа в 09-13 две девятки самолетов СБ вылетела на бомбардировку японских войск на северном берегу р.Хайластын-Гол в 8-12 км. восточнее р.Халхин-Гол. Из-за двухслойной облачности, бомбометание проводилось с высот менее 1км. В районе цели работала зенитная артиллерия противника и пулеметы. С задания не возвратился экипаж: летчик лейтенант Славгородский Корней Арсентьевич, штурман лейтенант Хатунцев Афанасий Владимирович, стрелок-радист Шишлин, Командир звена старший лейтенант Кочерга Николай Петрович видел, как самолет садился на передовой площадке в районе Тамцак-булак.

Летчик и стрелок-радист возвратились в полк.

Указом Президиума ВС СССР от 17 ноября 1939г. лейтенант Славгородский был награжден орденом Красного Знамени.

В 1941г. в составе 201 скоростного бомбардировочного авиаполка (эскадрилья под командованием капитана Стойлик Бориса Алексеевича).

25 июня в составе 3 шестерок с высоты 2500м. бомбардировал финский аэродром Хэйнола. В районе Утци группа была атакована 9 истребителями Ме-109 (Мессершмитт). С задания не возвратился экипаж самолета СБ (заводской №3/224): заместитель командира эскадрильи старший лейтенант Славгородский Корней Арсентьевич, начальник связи эскадрильи лейтенант Куприянов Евгений Васильевич, воздушный стрелок-радист младший сержант Артамонов Еремей Арбатович.

Корней Арсентьевич попал в плен.

Освобожден осенью 1944г. после выхода Финляндии из войны.

Прошел спецпроверку.

К ноябрю 1945г. служил в составе 27 отдельного запасного авиаполка. Награжден медалью «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.».

За долголетнюю и безупречную службу в 1946г. награжден медалью «За боевые заслуги», в 1947г.- орденом Красной Звезды.

Старший лейтенант Славгородский был уволен в запас 18 июля 1947г.