Родился 20 декабря 1919 года в городе Валуйки в семье рабочего. Русский. Окончил 6 классов неполной средней школы, работал слесарем в паровозном депо железнодорожной станции Валуйки. В октябре 1939 года был призван в Красную Армию.

С августа 1941 года Соловьев А.Ф. участвовал в Великой Отечественной войне. В 1942 году он окончил курсы младших лейтенантов и курсы усовершенствования командного состава. Сражался в действующих частях на Юго-Западном, Сталинградском, Центральном, 1-м Белорусском фронтах, занимал должности командира отделения, командира стрелковой роты. Был ранен. Особо отличился капитан Соловьев А Ф. в боях при прорыве сильно укрепленной обороны немецко-фашистских войск в Белоруссии летом 1944 года. Он командовал ротой 30-го стрелкового полка 102-й стрелковой дивизии, входившей в 48-ю армию 1-го Белорусского фронта. Его рота в ночь на 24 июня 1944 года у Деревни Новый Колос Гомельской области, успешно преодолев болотистый участок реки Друть, скрытно подошла к проволочным заграждениям противника. По сигналу ракеты А. Ф. Соловьев повел роту в наступление. Немцы открыли огонь, но рота во главе с Соловьевым ворвалась во вражеские траншеи и выбила противника с занимаемых позиций. Немцы трижды бросались в контратаку и каждый раз под огнем роты откатывались назад.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 августа 1944 года капитану Соловьеву Анатолию Федоровичу было присвоено звание Героя Советского Союза.

После войны Соловьев А.Ф. продолжал службу в Советской Армии. В 1947 году окончил курсы усовершенствования офицерского состава. В 1958 году уволился в запас в звании майора. Жил в городе Тамбове. В декабре 27 числа 1985 г. Анатолий Федорович умер.