Окончил 7-ю Сталинградскую военную авиационную школу лётчиков. Служил в Ленинградском военном округе. Участник советско-финской войны 1939—1940 годов. Член  ВКП (б) с 1939 года

Участник Великой Отечественной войны с самого её начала. 23 июля 1941 года подступах к Ленинграду на И-16 протаранил вражеский разведчик Hs-126 и произвёл посадку на повреждённом самолёте. К 13 августа  1941 года Алексей Сторожаков совершил 152 боевых вылета, в 25 воздушных боях сбил лично 8 и в группе — 3 самолёта противника.

10 сентября  1941 года в районе станции Мга Ленинградской области  вступил в бой с девятью истребителями Me-109. Будучи тяжело раненным, направил горящий самолёт в колонну вражеских бронетранспортёров и при этом погиб ( по другим данным возвращался с боя на подбитом самолете). Имеется архивный документ: «Заместитель командира эскадрильи, он же штурман, 154-го истребительного авиационного полка Старший лейтенант Сторожаков Алексей Николаевич при сопровождении самолётов СБ на Красное Село города Ленинграда погиб в воздушном бою против германского фашизма на территории, занятой противником, 10 Сентября 1941 года. Место погребения не установлено». Останки Сторожакова были найдены в 1980-х годах следопытом Михаилом Марковым в Мариенбургском лесу, где он нашёл воронку, откуда были извлечены останки лётчика. Похоронен в двух километрах от деревни Корпиково в Гатчинском районе ленинградской области. Позже на месте гибели Героя был установлен памятник, выполненный ленинградским архитектором А. Д. Левенковым.