Родился в 7 марта 1921 году в деревне Выдумерь Узменского сельского совета Бежецкого района Калининской области в крестьянской семье. После окончания средней школы, в 1939 году поступил во 2-е Ленинградское Командное Артиллерийское училище, по окончании которого в июне 1941г. ему было присвоено звание «лейтенант». Далее был направлен в Одесский военный округ, где получил назначение на должность командира измерительного пристрелочного взвода штабной батареи 265-го Корпусного артиллерийского полка (265-й КАП).

С начала Великой Отечественной войны в составе 265-го КАП участвовал в обороне Одессы. Затем полк был эвакуирован в Крым, где принимал участие в обороне Севастополя.  В период обороны г. Севастополя Алексею Петровичу было присвоено звание «старший лейтенант», а в марте 1942г. он был назначен на должность адъютанта командира полка.

За массовый героизм личного состава в апреле 1942 года полк получил гвардейское знамя и стал 18-м гвардейским артиллерийским полком.

В период третьего штурма, поддерживая атаки стрелковых подразделений, старший лейтенант Сушинский вместе с другими бойцами полка сдерживал превосходящие силы противника в районе Мекензиевых Гор. В конце июня 1942 года, отступив с остатками полка в район Херсонесского полуострова, продолжал сражаться на подступах к 35-й береговой батареи. Алексей Петрович принимал участие в обороне города до 03 июля 1942 года. В этот день он получил ранение в ногу, а на следующий день 4 июля 1942 года попал в плен в районе Херсонесского маяка.  

В плену пробыл до 28 августа 1942 года, а в ночь с 28 на 29 августа 1942 года в составе группы из 42 человек А.П. Сушинский во время перевозки по железной дороге, бежал из вагона в районе станции Знаменка Кировоградской области. Затем пытался добраться до линии фронта и выйти к своим войскам.  По оккупированной территории добрался до Краснодарского края, где на одном их хуторов встретился с нашими войсками.

После этого, проходил проверку в особом отделе, по окончании которой назначен на должность командира взвода управления 773 артиллерийского полка 317 стрелковой дивизии (2 формирования).

         Затем, в сентябре 1943 года назначен на должность командира батареи того же полка. В составе подразделения принимал участие в освобождении Таманского полуострова, освобождении Ужгорода, преодолении Карпат, прорыве обороны в горах Вэртэшхедьшег, овладении городами Брно, Дьер, Мадьяровар. За участие в данных операциях войска получили благодарность Верховного главнокомандующего И.В. Сталина.

Алексей Петрович был участником битвы за Кавказ, освобождение Кубани, участником штурма Будапешта и Вены. Освобождал Венгрию, Австрию, победу встретил в Чехословакии. Далее в составе подразделения переброшен на Дальний восток, где принял участие в войне с Японией. Летом 1946 года уволился из Вооруженных сил в звании «капитан» и вернулся домой после 7 лет отсутствия. В 1959 году окончил заочно Калининский педагогический институт, факультет иностранных языков. Долгое время работал преподавателем немецкого языка в средней школе.

Помимо ранения, полученного под Севастополем, был ранен еще 2 раза: при освобождении Таманского полуострова и при штурме Будапешта.

Умер в 1998 году.

За время войны награжден орденами Красной Звезды (Приказ от 26.04.1944г.) и двумя орденами Отечественной войны 2 степени (Приказ от 19.04.1945г. и от 11.03.1985г.) (второй орден Отечественной войны 2 степени получил, в честь 40-летия Победы), медалями «За оборону Одессы» (Приказ от 22.12.1942г., вручена в 1969г.), «За оборону Севастополя» (Приказ от 22.12.1942г., вручена в 1969г.), «За оборону Кавказа» (Приказ от 01.05.1944г.), «За взятие Будапешта» (Приказ от 09.06.1945г.), «За взятие Вены» (Приказ от 09.06.1945г.), «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945г.г.» (Приказ от 09.05.1945г., вручена в 1946г.), «За победу над Японией» (Приказ от 30.09.1945г., вручена в 1946г.) и многими юбилейными медалями.