Окончив в 1939 г. ВВМУ им. М.В. Фрунзе, лейтенант Александр Тейшерский получил назначение на должность штурмана ЭМ «Валериан Куйбышев» СФ. Свое профессиональное становление он прошел под руководством таких замечательных командиров, как командир дивизиона ЭМ капитан 2 ранга В.А. Фокин, командиры ЭМ «Валериан Куйбышев» офицеры Е.М. Крашенинников, С.Н. Максимов и А.И. Андреев.

С первых дней войны ЭМ «Валериан Куйбышев», штурманом которого являлся лейтенант А.Б. Тейшерский, начал активную боевую деятельность. В сопровождении ЭМ и катеров МО-4 транспорты перевезли на полуостров Рыбачий мобилизованных воинов, составивших основу Северного оборонительного района.

Летом 1942 г. А.Б. Тейшерскому досрочно было присвоено звание ст. лейтенанта, его назначили командиром БЧ-1 ЭМ «Гремящий». На «Гремящем» А.Б. Тейшерский участвовал в знаменитом бою у м.Канин Нос 18 сентября 1942 г., когда эскортные корабли отразили все попытки вражеской авиации атаковать конвой. Немцы потеряли 15 самолетов, два из которых сбили зенитчики «Гремящего».

Весной 1944 г. капитан-лейтенант А.Б. Тейшерского назначают дивизионным штурманом 2-го дивизиона БЭМ СФ, а вскоре в составе группы военно-морских специалистов направляют в Англию для подготовки к передаче ВМФ СССР линейного корабля и восьми Эсминцев. Одновременно его назначают помощником командира одного из ЭСМ.

А.Б. Тейшерский принимает у англичан ЭМ «Chealsey», приводит его в порядок, отрабатывает с экипажем боевые расписания, проводит учебные и зачетные стрельбы и атаки ПЛ. 16 июля 1944 г. на корабле, получившем имя «Дерзкий», был поднят военно-морской флаг СССР. На переходе из Англии в  Кольский залив «Дерзкий» потопил немецкую ПЛ U-344.ЭМ зарекомендовал себя одним из лучших противолодочных кораблей СФ, в чем была немалая заслуга помощника командира корабля.

В 1945 г. А.Б. Тейшерского назначили командиром ЭМ «Доблестный», которым он командовал в течение двух лет. В 1947 году ему присвоили воинское звание капитан 3 ранга и назначили командиром ЭМ «Осмотрительный». На «Осмотрительном» А.Б. Тейшерский провел огромнейшую работу по совершенствованию боевых расписаний, наставлений и инструкций, которые легли в основу документации для целой серии кораблей.

Осенью 1949 г. капитан 3 ранга Тейшерский поступил в ВМА им. К.Е. Ворошилова. Успешно окончив Академию, получил назначение в Таллин. Получив звание капитана 2 ранга, далее он служит на Дальнем Востоке-командиром 175-й БЭМ ТОФ. В 1958 г. капитан 1 ранга А.Б. Тейшерский назначается зам. командующего-НШ Камчатской военной флотилии. В 1961 году постановлением СМ СССР  ему было  присвоено звание контр-адмирал. Через два года он назначается начальником кафедры тактики военно-морского искусства ВВМИУ им. Ф.Э. Дзержинского. В этой должности Александр Болеславович прослужил 11 лет.

Приказом МО СССР № 0810 от 12 августа 1974 г. контр-адмирал А.Б. Тейшерский был уволен в запас по достижению предельного возраста.

За личное мужество и отвагу в боях с немецкими захватчиками в период Великой Отечественной войны Александр Болеславович был награжден орденом Отечественной войны 1 степени и двумя орденами 2-й степени, орденом Красной Звезды, медалями «За отвагу», «За боевые заслуги», «За оборону Советского Заполярья», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.» и многими юбилейными.

Похоронен А.Б. Тейшерский на Большеохтинском кладбище в Санкт-Петербурге.