Родился 27 февраля 1921 года в городе Ветлуге. Получил среднее образование – 10 классов средней щколы в 1941 году.

  Призван в армию 17 июня 1941 года. Учился  в ГУЗА (Горьковское училище зенитной артиллерии)  с января 1942 года по декабрь 1942 года, по окончании которого направлен командиром взвода управления 17-ой батареи 196 зенитного артполка Горковского корпусного района ПВО.

      В июне 1943 года 17-ую батарею направили на фронт. Зенитные пушки были переоборудованы для стрельбы по наземным целям, к ним были пристроены щиты. Батарею включили в 743-й отдельный истребительно-противотанковый  артдивизион.

      Между городом Ахтыркой и Лебедином вели бой с немецкими танками. Стреляли прямой наводкой. Шли ожесточённые бои с немецко-фашистскими захватчиками. Артдивизион вёл наступление. Осенью 1943 года в районе города Канева на пароме переправились на правый берег Днепра.
      В июне-июле  1944 года Яковлев Б.А. принимал участие в операции «Багратион» по освобождению Белоруссии. Вступили в бой между Оршей и Витебском.

      После Белоруссии 743 артдивизион был передан в состав 1-ого Прибалтийского фронта. Яковлев вступил в бой один на один с немецким танком. За этот поединок с танком Яковлев был награждён орденом Красной звезды. Продвигаясь вперёд прошли через  Шауляй, обстреляли город Ионишкис.
      Дивизион Яковлева участвовал в наступлении на город Ригу. Взяли город Митаву, потом вышли к Тукумсу.
      22 сентября 1944 года произошёл бой, в котором артиллеристам пришлось сражаться в качестве пехотинцев. Прорвавшиеся немецкие автоматчики захватили штабную автомашину артдивизиона.
      Яковлев получил приказ со своими артиллеристами, взяв автоматы разгромить немцев. Завязалась перестрелка, убили нескольких фашистов пытавшихся завести автомашину, остальные разбежались. В этом бою погиб командир артдивизиона Иван Тихонович Горбенко. Ему посмертно присвоено звание героя советского союза.
       Яковлев Б.А. был ранен в руку. За проявленное мужество во время боя был награждён Орденом Отечественной войны 1-ой степени.
        После ранения  Яковлев 5 месяцев лечился в госпитале. Стал инвалидом.
        Демобилизован из армии 18 марта 1945 года. Работал в Ветлуге заместителем начальника горфинотдела, начальником спецчасти  райсполкома, инспектором сельхоз банка.
        Переехав на жительство в Урень с 1954 по 1959 год работал начальником паспортного стола. С 1959 по 1964 год ревизором в райпотребсоюзе. Два года инженером экономистом и главным бухгалтером Уренской сельхозтехники.
        С 1966 года Яковлев Б.А. на  пенсии по инвалидности. В семье воспитал сына Анатолия и дочь Татьяну. Умер 8 июня 1990