Родился в селе Русский-Ошняк, Рыбно-Слободского района, Татарской АССР первым ребенком в молодой семье Ивана Ивановича и Анны Матвеевны Зайчиковых. 

Служил командиром батальона 311-го стрелкового полка, 65-й стрелковой Новгородской Краснознамённой ордена Суворова дивизии.

С ноября по декабрь 1941 года в составе 4-й отдельной армии воевал под городом Тихвин, который освободил 09.12.1941 года. За образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные личным составом доблесть и мужество 17 декабря 1941 дивизия была награждена орденом Красного Знамени.

В конце января 1942 года дивизия была перемещена в район станции Гряды, где атаковала вражеский плацдарм на восточном (правом) берегу Волхова. В феврале 1942 года, совершив тридцатикилометровый марш из района Грузино через Гладь, Гряды, Папоротно, Ямно и переправившись через Волхов, сосредоточилась на плацдарме в районе Мясного Бора. В марте 1942 года в составе 52-й армии форсировал Волхов в районе деревни Пахотная Горка, захватила плацдарм, но не удержала его. В мае 1942 года в ходе операции по выводу из окружения 2-й ударной армии дивизия удерживала коридор выхода из Любанского мешка для 2-й ударной армии и 30-31.05.1942 года попала под удар вражеской группировки, которая перерезала коридор выхода.

В этом бою под деревней Мясной Бор и погиб Зайчиков Александр Иванович.