Родился 1 октября 1907 года в селе Падеринское ныне Кетовского района Курганской области в семье крестьянина. Русский. Детство у Александра было трудное. Его мать Евдокия Ивановна Распопова, жила бедно и отдала сына на воспитание в бездетную семью. Киселёвы усыновили мальчика и дали ему свою фамилию. Окончил Падеринское двухклассное училище. В 1924 году вместе с родственниками уехал в Омск. В июле 1924 года был призван в ряды Красной Армии. В 1927 году окончил Омскую пехотную школу имени М.В. Фрунзе. Несколько лет командовал взводом в Барнауле. Участвовал в боях на КВЖД в 1929 году. В 1930 году вступил в ВКП(б)/КПСС. В начале 1930-х годов – начальник полковой школы 9-го отдельного конвойного полка внутренних войск НКВД в Новосибирске. В1936 году окончил военную академию РККА имени М,В, Фрунзе. С октября 1937 года – начальник Островского пограничного отряда. С мая 1939 года – начальник штаба Управления пограничных войск НКВД Карельского округа. Участвовал в советско – финляндской войне в 1939 – 1940 годах. После войны полковник Киселёв продолжал службу в пограничных войсках. В боях Великой Отечественной войны с июня 1941 года находился в той же должности. С сентября 1941 года – начальник Управления пограничных войск Карело – Финского Пограничного округа и одновременно – начальник охраны тыла Карельского фронта. Участвовал в боевых действиях в Карелии. С 11 мая 1943 года генерал – майор Киселёв командовал 140–й Сибирской стрелковой дивизией. Под его командованием дивизия участвовала в Курской битве, в Чернигово-Припятской, Гомельско-Речицкой, Житомирско-Бердичевской, Ровно-Луцкой, Проскуровско-Черновицкой, Львовско-Сандомирской операциях. В сентябре 1943 года была удостоена(дивизия Киселёва)почётного наименования «Новгород-Северская». В январе 1944 года за овладение городом и железнодорожным узлом Новгород-Волынский награждена орденом Красного знамени и в марте того же года – вторым орденом Красного Знамени. В период с 15 по 23 января 1945 года в ходе Западно-Карпатской операции командир 140-й стрелковой дивизии генерал – майор А.Я.Киселёв проявил высокое мастерство в организации прорыва сильно укреплённой обороны противника южнее города Ясло на территории Польши и в управлении боевыми действиями дивизии. В этих боях дивизия за 9 суток дивизия продвинулась на 150 километров, освободила 4 города и десятки населённых пунктов, уничтожила до 2000 солдат, 70 танков, 4 САУ, 15 миномётов, 2 склада. Были захвачены 600 пленных, 108 орудий, 120 миномётов, 19 складов. Погиб при форсировании Одера 24 января 1945 года. Похоронен на Холме Славы в городе Львове. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 мая 1945 года генералу-майору Киселеву Александру Яковлевичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза. Генерал – майор(3.05.1942.). Награждён орденом Ленина (23.05.1945, посмертно), тремя орденами Красного знамени(…, 1944,1944), орденами Суворова 2-й степени(1943), Богдана Хмельницкого 2-й степени, Красной звезды(1940)