Родился 18 августа 1915 . в деревне Подгорная, Аркадакской волости Балашовского уезда, Саратовской губернии в крестьянской семье. Получил образование в Подгоренской сельской школе (4 начальных класса).

В октябре 1937г. был призван на срочную военную службу в 8 батальон МВД.

В июне 1941 года был зачислен в состав 103 пограничного полка, затем в январе 1943г. в состав 108 пограничного полка. Летом 1941 года, в бою под Выборгом, получил ранение в правое предплечье и был отправлен в госпиталь в Ленинград перед самой блокадой. Оборонял Ленинград, находясь в городе  на протяжении всего срока его блокады.

Из воспоминаний Мелёшина Г. М.: «… ели картофельные очистки… исхудали так, что губы на зубы не налезали…»

В 1943 году получил боевую медаль «За оборону Ленинграда».

С апреля 1944 по июль 1947 служил в составе 88 пограничного отряда.

Всю войну прошёл в звании рядового в должности стрелка,   доблестно и честно выполняя свой долг перед Родиной и народом.

В 1946 году женился на землячке Любови Максимовне Михайловой. 

После демобилизации в 1947 году, Мелёшины. переехали в город Ртищево Саратовской области. Георгий Мартынович работал там до пенсии в военизированной охране железной дороги. Прошёл путь от простого стрелка до начальника караула. Отмечен, как добросовестный и образцовый сотрудник.

С 1952 года стал членом КПСС.

Умер 2 июня 1993 года. Похоронен с почестями на кладбище «Шмели» города Ртищево.