С 1934г. по 1937г. курсант 2-й эскадрильи 1-го отряда 1-й Краснознаменной авиационной школы ГВС (Гражданского воздушного флота) им.П.И.Баранова (г.Батайск, Ростовская обл.)

Окончил Тамбовскую военную авиационную школу пилотов.

С июня 1943г. в составе 511 отдельного разведывательного авиаполка (командир полка- майор Бабанов Анатолий Александрович).

22 июля экипаж вскрыл на аэродроме Микряновка до 40 бомбардировщиков.

04 августа во время разведывательного полета в районе Казачья Лопань самолет был атакован пятью истребителями Ме-109 (Мессершмитт). Умело маневрируя, летчик дал возможность вести огонь штурману и стрелку-радисту. Один истребитель был подбит и ушел со снижением на свою территорию, остальные продолжали атаку. Самолет Александра Васильевича был подожжен, отказали оба мотора. Огонь обжигал лицо летчика, за линией фронта, на своей территории, в поле произвел посадку. Экипаж успел выпрыгнуть из кабины, после чего раздался взрыв.

13 августа в районе Основа был атакован истребителем FW-190 (Вокке-Вульф). Воздушный стрелок огнем из пулемета не дал истребителю возможности приблизиться для эффективной атаки.

Произвел 8 боевых вылетов

Приказом от 03 сентября 1943г. командир звена лейтенант Гришанов награжден орденом Красного Знамени.

Назначен заместителем командира авиаэскадрильи. Со своим звеном выделен в распоряжение командующего 52 гвардейской армии для обеспечения воздушной разведки на время Черкасской операции. Произвел 14 боевых вылетов, часто в тяжелых метеоусловиях.

Затем переброшен на 2-й Украинский фронт, который вел бои за г.Умань.

25 февраля 1944г. в районе Константиновка экипаж был атакован парой истребителей Ме-109 (Мессершмитт). Стрелок-радист огнем пулемета не допустил противника занять удобное для атаки положение.

14 марта установил отход войск противника колонной до 350 автомашин, на аэродроме Арбузинка- до 60 самолетов.

17 марта на бетонированном аэродроме в районе Вознесенкс- до 150 самолетов.

29 марта в сложных метеоусловиях с высоты 100м экипаж произвел разведку отхода войск противника в направлении Яссы- Кишенев. За выполнение задание получил благодарность генерала-полковника авиации Горюнова.

В конце марта 1944г. командиром полка назначен подполковник Берман Семен Давидович. Александр Васильевич назначен командиром 1-й авиаэскадрильи.

К 15 апреля старший лейтенант Гришанов провел еще 34 боевых вылета. Приказом от 05 июня 1944г. награжден орденом Отечественной войны I степени.

Присвоено очередное воинское звание – капитан.

16 апреля, взлетев с аэродрома Тростенец экипаж в составе: командир- летчик капитан Гришанов, штурман ст.лейтенант Горобец Александр Алексеевич, стрелок-радист ст.сержант Тронь Николай Антонович, при авиаразведке по фотографированию оборонительных рубежей противника по правому берегу р.Молдава, при подходе к г.Роман на высоте 4000м заметил взлет пары истребителей Ме-109 (Мессершмитт). Экипаж продолжил выполнять задание, одновременно следя за полетом истребителей. В конце маршрута истребители произвели две атаки, после чего ушли на свою территорию. В этот момент справа спереди на той же высоте атаку произвели два истребителя FW-190 (Фокке-Вульф). Капитан Гришанов сделал небольшой левый крен, что позволило штурману Горобец вести прицельный огонь. В результате чего был подбит один FW -190. Второй, произведя еще одну атаку, ушел на свою территорию. В воздушном бою снарядом было разбито крепление стабилизатора, перебиты тяги рулей поворота. Самолет потерял управление и на скорости 500-600 км/ч стал падать вниз. На высоте 100-150м. летчик с помощью штурмана вывел самолет из пикирования в горизонтальное положение и дотянул до ближайшего аэродрома. Экипаж полностью выполнил фотографирование сильно укрепленного оборонительного рубежа, фотоснимки были переданы в штаб 2-го Украинского фронта маршала Конева.

За 27 последующих боевых приказом от  23 июля 1944г. награжден орденом Красного Знамени.

За последующие 13 боевых вылетов приказом от 06 ноября 1944г. награжден орденом Александра Невского.

02 января 1945г. экипаж в составе: командир АЭ капитан Гришанов, штурман АЭ капитан Коханюк Степан Иванович, стрелок-радист старшина  Франков Николай Филиппович во время фотографирования центральной части г.Будапешт на высоте 5000м заметили приближение пары истребителей противника. Командир решил продолжить выполнение задания, приказав экипажу, огнем пулеметов не подпускать истребители на близкое расстояние. Истребители произвели два захода для атаки, но, из-за ответного огня, не смогли приблизиться для прицельной стрельбы. Закончив фотографирование, капитан Гришанов с резким снижением изменил курс и благополучно возвратился на свой аэродром.

22 апреля 1945г. с высоты 700м установил движение трех автоколонн противника.

24 апреля с высоты 2000м- шести автоколонн в районах Брно и Целлиндорф.

Приказом от 16 июня 1945г. майор Гришанов награжден орденом Отечественной войны II степени.

Всего совершил 118 успешных боевых вылетов на дальнюю и ближнюю разведку войск противника. Был представлен к званию Герой Советского Союза.

Указом Президиума ВС СССР от 18 августа 1945г. награжден орденом Ленина.

Награжден медалями «Партизану Отечественной войны» I и II степеней, «За взятие Вены», «За взятие Берлина», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.».

В 1946г. награжден медалью «За боевые заслуги», в 1952г.- орденом Красной Звезды.

Службу окончил: 31.12.1955г. подполковник.